Verifique se a equação diferencial é homogênea, se sim, ache sua solução:
Dica: Chame
e dy
Dica: Chame
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A equação diferencial que você precisa resolver é:
Primeiro, precisamos verificar se essa equação é homogênea. Equações homogêneas têm a propriedade de que todas as suas partes podem ser expressas em termos de uma única variável quando divididas por uma potência adequada de
. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar uma substituição que simplifica as coisas, especificamente
. Isso vai nos ajudar a transformar a equação em algo mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Vamos começar identificando se a equação é realmente homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se puder ser escrita como
. Olhando para a nossa equação:
Percebeu? A equação foi reescrita em termos de
, então sim, ela é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos usar a dica que foi dada: fazer a substituição
. Isso significa que
é igual a
vezes
, onde
é uma nova função que depende de
.
Quando fazemos essa substituição, também precisamos encontrar
em termos de
e
. A dica nos dá a derivada de
:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação original com as expressões que encontramos. A equação original era:
Substituindo
por
e
por
, temos:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos agora resolver para
. Primeiro, vamos isolar os termos que contêm
:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Essa equação agora está na forma de uma equação linear de primeira ordem:
Para resolver isso, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: