Verifique se a equação diferencial é homogênea, se sim, ache sua solução:
y^prime=x-yx
Dica: Chame y=u x e dy =x d u+u d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A equação diferencial que você precisa resolver é:
y' = x - yx
Primeiro, precisamos verificar se essa equação é homogênea. Equações homogêneas têm a propriedade de que todas as suas partes podem ser expressas em termos de uma única variável quando divididas por uma potência adequada de . Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar uma substituição que simplifica as coisas, especificamente . Isso vai nos ajudar a transformar a equação em algo mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Vamos começar identificando se a equação é realmente homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se puder ser escrita como y' = x - yx = xx - yx = 1 - yx . Olhando para a nossa equação:
Percebeu? A equação foi reescrita em termos de , então sim, ela é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos usar a dica que foi dada: fazer a substituição dy = x , du + u , dx . Isso significa que y' = dydx = x cdot dudx + u é igual a vezes , onde é uma nova função que depende de .
Quando fazemos essa substituição, também precisamos encontrar em termos de e . A dica nos dá a derivada de :
Dividindo ambos os lados por , obtemos:

Passo 4

Agora, vamos substituir y' = 1 - yx e x cdot dudx + u = 1 - u cdot xx na equação original com as expressões que encontramos. A equação original era:
1 - u
Substituindo x cdot dudx + u = 1 - u por e por , temos:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos agora resolver para x cdot dudx = 1 - u - u = 1 - 2u . Primeiro, vamos isolar os termos que contêm dudx = 1 - 2ux :
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Essa equação agora está na forma de uma equação linear de primeira ordem:
dudx + 2xu = 1x
Para resolver isso, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) = e^integral 2x dx = e^2 ln x = x^2 é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante x^2 cdot dudx + 2x cdot u = x :
ddx (x^2 u) = x
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a integral ddx (x^2 u) , dx = integral x , dx :
x^2 u = x^22 + C
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, resolvemos para u = x^22 + Cx^2 = 12 + Cx^2 :
yx = 12 + Cx^2
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 10

Finalmente, resolvemos para y = x ( 12 + Cx^2 ) = x2 + Cx :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x2 + Cx

Exercícios relacionados