Exemplo 16: A temperatura de um disco metálico é dada por . Calcule a taxa de variação da temperatura no ponto ,
na direção que forma com o eixo ;
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação da função de temperatura no ponto na direção que faz com o eixo . O conteúdo é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente de e de um vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Para achar o gradiente, calculamos as derivadas parciais. Sabendo que , aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas em . Como , temos . Logo
Passo 4
Para obter o vetor unitário u na direção que faz 40^circ com o eixo y, note que se a componente y é cos40^circ e a x é sin40^circ, então
u=(sin40^circ,,cos40^circ),
pois esse vetor forma exatamente 40^circ com o eixo y e tem comprimento 1.
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente em (1,1) e u: