Exemplo 16: A temperatura de um disco metálico é dada por T(x, y)=25x^2+y^2+1. Calcule a taxa de variação da temperatura no ponto (1,1),
na direção que forma 40^circ com o eixo y;

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da função de temperatura T(x,y)=tfrac25x^2+y^2+1 no ponto (1,1) na direção que faz 40^circ com o eixo y. O conteúdo é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente de T e de um vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para achar o gradiente, calculamos as derivadas parciais. Sabendo que T(x,y)=25,(x^2+y^2+1)^-1, aplicamos a regra da cadeia:
partial Tpartial x=-25cdot1cdot(x^2+y^2+1)^-2cdot2x=-50x(x^2+y^2+1)^2,
partial Tpartial y=-50y(x^2+y^2+1)^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em (1,1). Como x^2+y^2+1=1+1+1=3, temos (x^2+y^2+1)^2=9. Logo
partial Tpartial x|(1,1)=-50cdot19=-509, partial Tpartial y|(1,1)=-509

Passo 4

Para obter o vetor unitário u na direção que faz 40^circ com o eixo y, note que se a componente y é cos40^circ e a x é sin40^circ, então
u=(sin40^circ,,cos40^circ),
pois esse vetor forma exatamente 40^circ com o eixo y e tem comprimento 1.

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente em (1,1) e u:
DuT(1,1)=nabla T(1,1)cdotu=l(-tfrac509,-tfrac509r)cdot(sin40^circ,cos40^circ)
Fazendo o produto escalar obtemos
DuT(1,1)=-509(sin40^circ+cos40^circ)

Resposta

-tfrac509(sin40^circ+cos40^circ)approx-7,83

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