Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1n tg 1n

Passo 1

O exercício pede para determinar a convergência da série sumn=1^infty 1n tanl(tfrac1nr). O conteúdo aqui envolve testes de convergência de séries infinitas e a aproximação de funções trigonométricas para argumentos pequenos.

Passo 2

Para mostrar o comportamento de tan(x) quando x é pequeno, vamos usar a série de Taylor em torno de zero. Sabemos que
tan(x) = x + x^33 + o(x^3) (x to 0)
Agora, substituindo x = tfrac1n e multiplicando por 1/n, temos para n grande:
tanl(tfrac1nr) = 1n + 13,n^3 + ol(tfrac1n^3r),
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1n tanl(tfrac1nr) = 1n^2 + 13,n^4 + ol(tfrac1n^4r)
Isso mostra que o termo geral an = tfrac1ntan(1/n) se comporta como 1/n^2 quando ntoinfty.

Passo 3

Aplicamos então o teste da comparação-limite com a série sum 1/n^2, que é convergente (p-série com p=2>1). Calculamos
L = limntoinfty an1/n^2 = 1, e como 0 < L < infty, a série original converge se, e somente se, sum 1/n^2 convergir.

Resposta

A série converge.

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