Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O exercício pede para determinar a convergência da série
. O conteúdo aqui envolve testes de convergência de séries infinitas e a aproximação de funções trigonométricas para argumentos pequenos.
Passo 2
Para mostrar o comportamento de
quando
é pequeno, vamos usar a série de Taylor em torno de zero. Sabemos que
Agora, substituindo
logo
Isso mostra que o termo geral
Passo 3
Aplicamos então o teste da comparação-limite com a série
, que é convergente (p-série com
). Calculamos
Resposta
A série converge.