Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
O problema é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com condições iniciais: y’’–3y’+2y=1+2x, y(0)=0, y’(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace, precisando das fórmulas de L{y’} e L{y’’}, além de L{1} e L{x}.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
temos
Como y(0)=y’(0)=0, a parte esquerda vira
Passo 3
Calculamos as transformadas da direita:
Logo o lado direito é
.
Passo 4
Isolando Y(s) obtemos
Para facilitar, somamos em um só numerador:
Passo 5
Fazemos a decomposição em frações parciais
Analisando coeficientes ou avaliando em s=0,1,2 e comparando, achamos
A=2, B=1, C=-3, D=1. Assim
A=2, B=1, C=-3, D=1. Assim
Passo 6
Agora invertemos termo a termo:
Portanto
Passo 7
final_answer