Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=1+2 x, y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

O problema é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com condições iniciais: y’’–3y’+2y=1+2x, y(0)=0, y’(0)=0. Vamos usar a transformada de Laplace, precisando das fórmulas de L{y’} e L{y’’}, além de L{1} e L{x}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
temos
s^2Y(s)-scdot0-0 -3l(sY(s)-0r) +2Y(s) = L1 + L2x
Como y(0)=y’(0)=0, a parte esquerda vira
(s^2-3s+2)Y(s)

Passo 3

Calculamos as transformadas da direita:
L1=1s, L2x=2cdot1s^2=2s^2
Logo o lado direito é 1/s + 2/s^2.

Passo 4

Isolando Y(s) obtemos
Y(s)=1/s + 2/s^2s^2-3s+2
Para facilitar, somamos em um só numerador:
Y(s)=s+2s^2,(s-1)(s-2)

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais
s+2s^2(s-1)(s-2)=As+Bs^2+Cs-1+Ds-2
Analisando coeficientes ou avaliando em s=0,1,2 e comparando, achamos
A=2, B=1, C=-3, D=1. Assim
Y(s)=2s+1s^2-3s-1+1s-2

Passo 6

Agora invertemos termo a termo:
L^-12/s=2, L^-11/s^2=x, L^-1-3/(s-1)=-3e^x, L^-11/(s-2)=e^2x
Portanto

Passo 7

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