Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime-y=e^x, y(0)=1

Passo 1

Resumo do problema: temos o PVI y' - y = e^x com y(0)=1. O conteúdo é equação diferencial linear de 1ª ordem; vamos usar transformada de Laplace, precisando das propriedades Ly' = sY(s) - y(0) e Le^x = 1s-1.

Passo 2

Aplicamos Laplace em ambos os lados. Usamos:
Ly' = sY(s) - y(0), Ly = Y(s), Le^x = 1s-1
Substituindo em y' - y = e^x e y(0)=1 vem:
(sY(s) -1) - Y(s) = 1s-1
e que simplifica para:
(s-1)Y(s) -1 = 1s-1

Passo 3

Isolamos Y(s). Somamos 1 em ambos os lados:
(s-1)Y(s) = 1 + 1s-1
Logo
Y(s) = 1s-1 + 1(s-1)^2

Passo 4

Fazemos a transformada inversa. Sabemos que
L^-11s-1 = e^x, L^-11(s-1)^2 = x e^x
Então y(x) = e^x + x e^x.

Passo 5

Verificamos a condição inicial: y(0) = 1 + 0 =1, OK.

Resposta

y(x) = (1 + x)e^x

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