Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e elabore gráfico da mesma:
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
, com
e
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante ressonante em frequência
. Vamos precisar: (i) achar a solução geral da homogênea, (ii) obter uma particular por coeficientes a determinar levando em conta ressonância, (iii) aplicar as condições iniciais e (iv) esboçar o gráfico mostrando a oscilação com amplitude que cresce linearmente.
Passo 2
Para a homogênea associada
a equação característica é
, cujas raízes são
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o forçante é
com a mesma frequência da homogênea, usamos um palpite ressonante do tipo
Derivando, substituindo em
e agrupando termos, chega-se a
de onde
e
, dando
e
. Assim
Passo 4
A solução geral fica
Calculando
e
obtemos
Portanto
Passo 5
Para o gráfico, note que é uma oscilação de frequência
(período
) cuja amplitude cresce linearmente por causa do termo ressonante
. As retas de envoltória são
esboçando uma “crista” e um “vale” que se afastam linearmente de zero.