Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e elabore gráfico da mesma:
y^prime prime+4 y=3 sen(2 t) ; y(0)=2, y^prime(0)=-1
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y''+4y=3sin(2t), com y(0)=2 e y'(0)=-1. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante ressonante em frequência 2. Vamos precisar: (i) achar a solução geral da homogênea, (ii) obter uma particular por coeficientes a determinar levando em conta ressonância, (iii) aplicar as condições iniciais e (iv) esboçar o gráfico mostrando a oscilação com amplitude que cresce linearmente.

Passo 2

Para a homogênea associada y''+4y=0 a equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=pm2i. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 3

Como o forçante é 3sin(2t) com a mesma frequência da homogênea, usamos um palpite ressonante do tipo
yp(t)=tl(Acos(2t)+Bsin(2t)r)
Derivando, substituindo em y''+4y=3sin(2t) e agrupando termos, chega-se a
-4Asin(2t)+4Bcos(2t)=3sin(2t),
de onde 4B=0 e -4A=3, dando B=0 e A=-3/4. Assim
yp(t)=-34,tcos(2t)

Passo 4

A solução geral fica
y(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)-34tcos(2t)
Calculando y(0)=2 e y'(0)=-1 obtemos
C1=2,
C2=-tfrac18
Portanto
y(t)=2cos(2t)-18sin(2t)-34tcos(2t)

Passo 5

Para o gráfico, note que é uma oscilação de frequência 2 (período pi) cuja amplitude cresce linearmente por causa do termo ressonante -tfrac34,tcos(2t). As retas de envoltória são
ymax(t)=-34t+2,
ymin(t)=34t-2,
esboçando uma “crista” e um “vale” que se afastam linearmente de zero.

Passo 6

Resposta

y(t)=2cos(2t)-tfrac18sin(2t)-tfrac34tcos(2t)

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