Obtenha uma aproximação de integral0^1 sin (x^2) d x com quatro casas decimais.

Passo 1

Na questão, queremos aproximar a integral integral0^1 sin(x^2),dx. O conteúdo principal aqui é usar a expansão em série de Taylor e a integração termo a termo para obtermos uma expressão em série convergente, que nos permitirá calcular a aproximação com a precisão desejada.

Passo 2

Usamos a expansão de Taylor de sin z em torno de zero e substituímos z=x^2:
sin(x^2)=sumk=0^infty(-1)^k,(x^2)^2k+1(2k+1)! =sumk=0^infty(-1)^k,x^4k+2(2k+1)!

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a 1, usando integral0^1 x^4k+2,dx=1/(4k+3):
integral0^1sin(x^2),dx =sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!integral0^1x^4k+2,dx =sumk=0^infty(-1)^k(4k+3),(2k+1)!

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos (de k=0 a k=3):
0.33333333-0.02380952+0.00075758-0.00001323approx0.31026816



Somando esses quatro termos obtemos

Passo 5

Para garantir que o truncamento em k=3 basta para quatro casas decimais, avaliamos o termo k=4:
gl|119cdot9!gr|=119cdot362880approx1.45times10^-7,
que é muito menor que 5times10^-5, logo o erro é desprezível para quatro casas.

Passo 6

Arredondando 0.31026816 para quatro casas decimais e observando o algarismo seguinte (6), o valor fica 0.3103.

Resposta

0.3103

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