Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos e que sum bn seja divergente.
(a) Se an>bn para todo n, o que você pode dizer sobre sum an ? Por quê?
(b) Se an para todo n, o que você pode dizer sobre sum an ? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas séries de termos positivos, sum an e sum bn, sabendo que sum bn diverge, e usar o critério de comparação direta para decidir o comportamento de sum an. Vamos precisar lembrar que, para séries de termos não-negativos, se an>= bn e sum bn diverge, então sum an também diverge; e se an<= bn, o teste não garante nada sobre convergência.

Passo 2

Como a hipótese é an>bn para todo n, temos que cada soma parcial de an é maior que a correspondente de bn. Já que sum bn não se aproxima de um limite (diverge), as somas parciais de an também não podem convergir. Logo, sum an diverge por comparação direta.

Passo 3

Se an para todo n, estamos diante de uma sequência de termos menores que os de uma série divergente. O critério de comparação direta só garante convergência quando comparamos com uma série convergente; aqui ele fica inconclusivo. De fato, sum an pode tanto convergir (por exemplo, se bn=1/n e an=1/n^2) quanto divergir (por exemplo, se bn=1/raiz n e an=1/n).

Passo 4

Portanto, em (a) concluímos divergência e em (b) o teste de comparação direta não dá informação definitiva.

Resposta

(a) sum an diverge, pois é maior termo a termo que uma série divergente. (b) Não dá para concluir: a série sum an pode tanto convergir quanto divergir.

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