Suponha que
sejam séries com termos positivos e que
seja divergente.
(a) Se
para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede para analisar duas séries de termos positivos,
e
, sabendo que
diverge, e usar o critério de comparação direta para decidir o comportamento de
. Vamos precisar lembrar que, para séries de termos não-negativos, se
e
diverge, então
também diverge; e se
, o teste não garante nada sobre convergência.
Passo 2
Como a hipótese é
para todo
, temos que cada soma parcial de
é maior que a correspondente de
. Já que
não se aproxima de um limite (diverge), as somas parciais de
também não podem convergir. Logo,
diverge por comparação direta.
Passo 3
Se
para todo
, estamos diante de uma sequência de termos menores que os de uma série divergente. O critério de comparação direta só garante convergência quando comparamos com uma série convergente; aqui ele fica inconclusivo. De fato,
pode tanto convergir (por exemplo, se
e
) quanto divergir (por exemplo, se
e
).
Passo 4
Portanto, em (a) concluímos divergência e em (b) o teste de comparação direta não dá informação definitiva.
Resposta
(a)
diverge, pois é maior termo a termo que uma série divergente. (b) Não dá para concluir: a série
pode tanto convergir quanto divergir.