Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n^2+cos ^2 nn^3

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^inftyn^2+cos^2nn^3 converge ou diverge. O conteúdo principal é teste de comparação e séries do tipo p (p-series). Vamos precisar usar a ideia de decompor a razão e comparar com a série harmônica.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral da série separando as parcelas: n^2+cos^2nn^3=n^2n^3+cos^2nn^3=1n+cos^2nn^3

Passo 3

Observamos que cos^2n é sempre um número entre 0 e 1, ou seja, 0<=cos^2nn^3<=1n^3 Sabendo que a série sum1/n^3 é convergente (porque é uma p-série com p=3>1), o termo cos^2n/n^3 gera uma sub-série convergente. Porém, o outro termo é 1/n, e a série sum1/n (série harmônica) diverge.

Passo 4

Como a soma de uma parte divergente ( sum1/n) com uma parte convergente não pode ser convergente, concluímos que a série original diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste de comparação com a série harmônica.

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