Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 2+sen nn^2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série numérica sumn=1^infty2+sin nn^2. O conteúdo aqui é séries de termo geral envolvendo sin n e potência de n. Para resolver, vamos usar o teste de comparação e o fato de que seno é limitado.

Passo 2

Observação sobre sin n: sabemos que sin n está sempre entre -1 e +1. Assim, para todo n, vale
-1 <= sin n <= 1 implies 2-1 <= 2+sin n <= 2+1 implies 1 <= 2+sin n <= 3
Estimativa do termo geral: dividindo por n^2 em todas as partes da desigualdade, obtemos
1n^2 <= 2+sin nn^2 <= 3n^2

Passo 3

Aplicação do teste de comparação: sabemos que a série de p-tipo
sumn=1^infty1n^2 e sumn=1^infty3n^2 = 3sumn=1^infty1n^2
convergem, pois são séries p com p=2>1. Pela comparação, como
1n^2<=2+sin nn^2<=3n^2 e as séries de limite inferior e superior convergem, então a série dada também converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados