Encontre a transformada de Laplace inversa da seguinte função.
4 s /(s^2+4)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de F(s)=4s(s^2+4)^2. O conteúdo principal aqui é transformada de Laplace e a propriedade de derivação no domínio de s. Vamos precisar da tabela básica de transformadas e da regra que envolve multiplicação por t no tempo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada direta de sin(at) é
Lsin(at)=as^2+a^2
Também usamos a propriedade de derivada: se F(s)=Lf(t), então
Lt,f(t)=-ddsl[F(s)r]

Passo 3

Agora, identificamos em F(s) uma forma que vem de f(t)=sin(2t). De fato,
Lsin(2t)=2s^2+4=:G(s)
Aplicando a propriedade de multiplicação por t, temos
Ltsin(2t)=-ddsl[G(s)r] =-ddsl(2s^2+4r)

Passo 4

Basta derivar G(s)=2(s^2+4)^-1:
ddsl(2(s^2+4)^-1r)=2cdot(-1)(s^2+4)^-2cdot2s=-4s(s^2+4)^2
Logo,
Ltsin(2t)=-l(-tfrac4s(s^2+4)^2r)=4s(s^2+4)^2,
que coincide exatamente com F(s).

Resposta

t,sin(2t)

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