Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e elabore gráfico da mesma:
y^prime prime+4 y=t^2+3 e^t y(0)=0, y^prime(0)=2
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]

Passo 1

O problema é um EDO linear de segunda ordem não homogênea: y''+4y = t^2 + 3e^t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados para obter a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular.

Passo 2

Para a solução homogênea, resolvemos a equação associada y''+4y=0. A equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=±2i. Assim,
yh(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)

Passo 3

Buscamos uma solução particular polinomial para o termo t^2. Assumimos yp1(t)=at^2+bt+c. Substituindo em y''+4y=t^2 e identificando coeficientes obtemos
4a=1, 4b=0, 2a+4c=0
que dá a=1/4, b=0 e c=-1/8. Logo,
yp1(t)=tfrac14t^2-tfrac18

Passo 4

Para o termo exponencial, suponho yp2(t)=de^t. Substituindo em y''+4y=3e^t resulta em 5d e^t=3e^t, logo d=3/5. Assim,
yp2(t)=tfrac35e^t

Passo 5

A solução geral é
y(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)+tfrac14t^2-tfrac18+tfrac35e^t

Passo 6

Usando as condições iniciais: de y(0)=0 vem
A - tfrac18 + tfrac35 = 0 implies A = -tfrac1940,

Passo 7

e derivando y'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)+tfrac12t+tfrac35e^t, impondo y'(0)=2 achamos
2B + tfrac35 = 2 implies B = tfrac710

Passo 8

Para esboçar o gráfico, podemos usar Python:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0, 5, 1000)
y = -19/40*np.cos(2*t) + 7/10*np.sin(2*t) + 1/4*t**2 - 1/8 + 3/5*np.exp(t)

plt.plot(t, y)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução do PVI')
plt.grid(True)
plt.show()
O gráfico mostra oscilações de período pi (devido a cos2t e sin2t), uma tendência polinomial crescente e, no longo prazo, o termo exponencial domina, fazendo y(t) crescer rapidamente.

Resposta

y(t) = -tfrac1940cos(2t) + tfrac710sin(2t) + tfrac14t^2 - tfrac18 + tfrac35e^t

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