Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e elabore gráfico da mesma:
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 3.6]
Passo 1
O problema é um EDO linear de segunda ordem não homogênea:
com condições iniciais
e
. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados para obter a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular.
Passo 2
Para a solução homogênea, resolvemos a equação associada
. A equação característica é
, cujas raízes são
. Assim,
Passo 3
Buscamos uma solução particular polinomial para o termo
. Assumimos
. Substituindo em
e identificando coeficientes obtemos
que dá
,
e
. Logo,
Passo 4
Para o termo exponencial, suponho
. Substituindo em
resulta em
, logo
. Assim,
Passo 5
A solução geral é
Passo 6
Usando as condições iniciais: de
vem
Passo 7
e derivando
, impondo
achamos
Passo 8
Para esboçar o gráfico, podemos usar Python:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 5, 1000)
y = -19/40*np.cos(2*t) + 7/10*np.sin(2*t) + 1/4*t**2 - 1/8 + 3/5*np.exp(t)
plt.plot(t, y)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solução do PVI')
plt.grid(True)
plt.show()
O gráfico mostra oscilações de período
(devido a
e
), uma tendência polinomial crescente e, no longo prazo, o termo exponencial domina, fazendo
crescer rapidamente.