Calcule o limite de cada sequência abaixo, se existir.
a_n = raiz(n + 100) - raiz(n).

Passo 1

Vamos resolver o limite da sequência . Aqui, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação algébrica de expressões com radicais. Precisamos simplificar a expressão para identificar o comportamento dela quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar . Uma maneira eficiente de fazer isso é multiplicar e dividir pela expressão conjugada, que no caso é . Isso ajuda a eliminar os radicais do numerador.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador pela conjugada, temos:
No numerador, aplicamos a identidade da diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador . Conforme cresce, tanto quanto aumentam sem limite, tornando a soma dessas duas raízes também tendente ao infinito.

Passo 5

Com o denominador tendendo ao infinito e o numerador sendo constante (100), a fração toda tende a zero.

Resposta

O limite da sequência é zero, ou seja:

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