Encontre a transformada de Laplace da seguinte função.
e^-2 x(cos x-2 sen x)

Passo 1

A gente tem a função f(x)=e^{-2x}(\cos x -2\sin x). O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos usar a definição básica e, principalmente, o teorema do deslocamento no eixo s.

Passo 2

Lembrando que a definição da transformada de Laplace é
Lg(x)(s)=integral0^inftye^-s xg(x),dx
e o teorema do deslocamento diz que, se G(s)=Lg(x)(s), então
Le^a xg(x)(s)=G(s - a)
No nosso caso, temos a=-2, logo
Le^-2xg(x)(s)=G(s+2)

Passo 3

Antes de aplicar o deslocamento, calculamos
G(s)=Lcos x -2sin x(s) =Lcos x(s)-2,Lsin x(s)
Sabendo que
Lcos x(s)=ss^2+1, Lsin x(s)=1s^2+1,
temos
G(s)=ss^2+1-2cdot1s^2+1=s-2s^2+1

Passo 4

Agora aplicamos o deslocamento s→s+2 em G(s):
[
\mathcal{L}{e^{-2x}(\cos x-2\sin x)}(s)=G(s+2)
=\frac{(s+2)-2}{(s+2)^2+1}
=\frac{s}{(s+2)^2+1}.
]

Passo 5

Podemos reescrever o denominador expandido, se quiser:
(s+2)^2+1=s^2+4s+5
Mas a forma com o quadrado é mais direta para identificar o deslocamento.

Resposta

Le^-2x(cos x-2sin x)(s)=s(s+2)^2+1

Exercícios relacionados