(7 pts) Diga se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumn=2^infty (-1)^nn ln (n^2)

Passo 1

O enunciado pede pra classificar a série sumn=2^infty (-1)^nn ln(n^2) em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve teste de convergência absoluta e o teste da série alternada de Leibniz.

Passo 2

Pra ver convergência absoluta, trago o valor absoluto dos termos: |(-1)^nn ln(n^2)|=1n ln(n^2) Como ln(n^2)=2ln n, fica 12nln n. Então a série absoluta é sumn=2^infty12nln n. Sabemos, por exemplo via teste da integral, que sum1nln n diverge ( integral2^infty dxxln x=ln(ln x)|2^infty=infty). Logo a constante 1/2 não muda isso: a série absoluta diverge.

Passo 3

Agora aplico o teste da série alternada (Leibniz). Defino bn=1nln(n^2)=12nln n. Vê-se que bn>0 e, para n>=2, bn+1 (denominador cresce quando n cresce). Além disso, limntoinftybn=0 pois nln ntoinfty.

Passo 4

Como os hipóteses do teste da série alternada estão satisfeitos, concluímos que sumn=2^infty(-1)^n bn converge.

Passo 5

Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste alternado, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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