Nas questões de 6 a 10: a) prove que a função é descontínua em a ; b) determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua; c) mostre por que a definição de continuidade não é satisfeita em cada descontinuidade.
f(s)=cll1s+5 & se & x neq-5 0 & se & x=-5 ; a=-5

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
f(s) = 1s+5 & se s neq -5 0 & se s = -5
E o ponto em questão é a = -5. O conteúdo aqui envolve continuidade de funções, e para resolver vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua ou descontínua num ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que a função é descontínua em a = -5. Para uma função ser contínua num ponto a, três condições precisam ser satisfeitas:
  1. A função está definida em a.
  2. O limite da função quando s se aproxima de a existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em a.
Se alguma dessas condições não for cumprida, a função é descontínua no ponto.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: a função está definida em a = -5? Sim, porque f(-5) = 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de f(s) quando s se aproxima de -5. Considerando s neq -5, a função é 1s+5.
lims to -5 1s+5
Ao substituirmos s = -5, o denominador fica zero, o que significa que o limite tende ao infinito. Portanto, o limite não existe de forma finita.

Passo 5

A terceira condição exige que o limite seja igual ao valor da função em a. Como o limite não existe, ele definitivamente não é igual a f(-5), que é 0.

Passo 6

Como o limite não existe ou não é igual a f(a), concluímos que a função é descontínua em a = -5.

Passo 7

Agora, para determinar os valores da variável independente onde a função é descontínua, observamos que o denominador s + 5 não pode ser zero, ou seja, s neq -5. Porém, a função está definida para s = -5 como 0. Portanto, o único ponto de descontinuidade é s = -5.

Passo 8

Por fim, vamos mostrar por que a definição de continuidade não é satisfeita em s = -5. A definição exige que:
lims to -5 f(s) = f(-5)
Mas vimos que:
lims to -5 1s+5 não existe (vai para infinito) ã
Enquanto f(-5) = 0. Como o limite não coincide com o valor da função, a continuidade não é satisfeita nesse ponto.

Resposta

A função f(s) é descontínua em s = -5 porque o limite lims to -5 1s+5 não existe, e portanto não é igual ao valor da função f(-5) = 0. O único ponto de descontinuidade é s = -5.

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