Nas questões de 6 a 10: a) prove que a função é descontínua em
b) determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua; c) mostre por que a definição de continuidade não é satisfeita em cada descontinuidade.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E o ponto em questão é
. O conteúdo aqui envolve continuidade de funções, e para resolver vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua ou descontínua num ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que a função é descontínua em
. Para uma função ser contínua num ponto
, três condições precisam ser satisfeitas:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função em
.
Se alguma dessas condições não for cumprida, a função é descontínua no ponto.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: a função está definida em
? Sim, porque
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Considerando
, a função é
.
Ao substituirmos
, o denominador fica zero, o que significa que o limite tende ao infinito. Portanto, o limite não existe de forma finita.
Passo 5
A terceira condição exige que o limite seja igual ao valor da função em
. Como o limite não existe, ele definitivamente não é igual a
, que é 0.
Passo 6
Como o limite não existe ou não é igual a
, concluímos que a função é descontínua em
.
Passo 7
Agora, para determinar os valores da variável independente onde a função é descontínua, observamos que o denominador
não pode ser zero, ou seja,
. Porém, a função está definida para
como 0. Portanto, o único ponto de descontinuidade é
.
Passo 8
Por fim, vamos mostrar por que a definição de continuidade não é satisfeita em
. A definição exige que:
Mas vimos que:
Enquanto
. Como o limite não coincide com o valor da função, a continuidade não é satisfeita nesse ponto.
Resposta
A função
é descontínua em
porque o limite
não existe, e portanto não é igual ao valor da função
. O único ponto de descontinuidade é
.