Determine se a série é convergente ou divergente
13+17+111+115+119+cdots

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série cuja soma é dada por
13+17+111+115+cdots
Isso é assunto de teste de convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar o Teste de Comparação ou o Teste da Limite para séries positivas.

Passo 2

Primeiro identificamos o termo geral. Observamos que os denominadores são da forma 4n+3 para n=0,1,2,dots. Logo, o termo geral é
an=14n+3

Passo 3

Vamos comparar com a série harmônica sumn=1^infty1n, que é conhecida por divergir. Para isso, aplicamos o Teste da Limite, calculando
L=limntoinftyan1/n=limntoinfty1/(4n+3)1/n=limntoinftyn4n+3
Fazendo a divisão dos termos de maior grau em numerador e denominador, obtemos
L=limntoinftyn4n+3=14
Como 0< L, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Como a série harmônica diverge e nosso teste mostrou que sum an se comporta como 14sum1n, concluímos que a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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