Determine se a série é convergente ou divergente:
14+116+136+164+ldots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série tfrac14 + tfrac116 + tfrac136 + tfrac164 +dots é convergente ou divergente. O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar identificar o termo geral e usar o teste da série p.

Passo 2

Observamos que os denominadores são 4,16,36,64,dots, ou seja, (2n)^2 para n=1,2,3,dots. Assim o termo geral é
an = 1(2n)^2 = 14n^2

Passo 3

Para aplicar o teste da série p, lembramos que a série sumn=1^infty1n^p converge se e somente se p>1. Aqui podemos escrever
sumn=1^inftyan = sumn=1^infty14n^2 = 14sumn=1^infty1n^2
Como temos p=2>1, a série sumn=1^infty1n^2 converge, logo a nossa também converge.

Passo 4

Opcionalmente, sabendo que sumn=1^infty1n^2 = pi^26, podemos calcular a soma da nossa série:
sumn=1^infty14n^2 = 14cdotpi^26 = pi^224

Resposta

A série é convergente.

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