Determine se a série é convergente ou divergente:
sumn=1^infty (-1)^n+12^n-1

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n+12^n-1 converge ou diverge. Esse conteúdo faz parte de séries infinitas, e vamos precisar reconhecer que isso é uma série geométrica alternante para aplicar o teste de convergência.

Passo 2

Para enxergar a forma geométrica, fazemos a mudança de índice m = n - 1. Assim, quando n=1, m=0, e temos
(-1)^n+12^n-1 = (-1)^(m+1)+12^m = (-1)^m+22^m = (-1)^m2^m = l(-tfrac12r)^m
Logo a série vira
sumn=1^infty (-1)^n+12^n-1 = summ=0^infty l(-tfrac12r)^m, que é uma série geométrica com razão r = -tfrac12.

Passo 3

A convergência de uma série geométrica é garantida se |r|<1. Aqui |r| = tfrac12 < 1, logo a série converge. Não precisamos nem recorrer a testes alternados como o de Leibniz, pois o critério geométrico é suficiente.

Passo 4

Para reforçar, podemos checar a convergência absoluta: consideramos a série dos módulos
sumn=1^infty l|tfrac(-1)^n+12^n-1r| = sumn=1^infty tfrac12^n-1 = summ=0^infty l(tfrac12r)^m, que também converge (pois é geométrica com razão tfrac12<1). Portanto a série é absolutamente convergente.

Passo 5

Opcionalmente, sabendo que summ=0^infty r^m = 1/(1-r) para |r|<1, podemos até achar a soma:
summ=0^infty l(-tfrac12r)^m = 11 - (-tfrac12) = 11 + tfrac12 = tfrac23

Resposta

A série é convergente, na verdade absolutamente convergente (e soma-se a tfrac23).

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