Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n (n+1)^2n^5+1

Passo 1

Enunciado e plano: Temos a série alternante sumn=1^infty(-1)^n(n+1)^2n^5+1. O conteúdo é convergência de séries alternantes e a primeira coisa a checar é a convergência absoluta, ou seja, analisar sumn=1^inftyl|(-1)^ntfrac(n+1)^2n^5+1r|.

Passo 2

Análise da série absoluta: Consideramos an=(n+1)^2n^5+1. Para ver o comportamento assintótico, note que
(n+1)^2n^5+1simn^2n^5=1n^3(ntoinfty)

Passo 3

Como sum 1/n^3 é uma série-p com p=3>1, ela converge. Pelo Teste da Comparação Limite, temos que sum an também converge, logo sum|termos| converge.

Passo 4

Conclusão: Sendo a série de termos absolutos convergente, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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