Determine se a série é convergente ou divergente expressando s_{"} como uma soma telescópica (como no Exemplo 2). Se ela for convergente, calcule sua soma. Σ_{n=1}^{∞}(e^{2 i}-e^{3 i(n+1)})
Explico: estudar a sequência de somas parciais \{S_N\} e verificar se ela tem limite finito quando N\to\infty. Se o limite existir (finito), a série converge e o limite é a soma; se não existir (ou for infinito), a série diverge.
Passo 3
Separe a soma em duas somas (linearidade das somas finitas):
A primeira soma é simplesmente N vezes e^{2i}, porque e^{2i} não depende de n:
\sum_{n=1}^{N}e^{2 i}=N e^{2 i}.
Portanto
S_N = N e^{2 i} - \sum_{n=1}^{N} e^{3 i(n+1)}.
Passo 4
Vamos manipular a segunda soma (é uma soma geométrica). Reindexando com k=n+1 (então k vai de 2 a N+1):
\sum_{n=1}^{N} e^{3 i(n+1)}=\sum_{k=2}^{N+1} e^{3 i k} =\sum_{k=1}^{N+1} e^{3 i k}-e^{3 i}.
Logo
S_N = N e^{2 i} -\Bigl(\sum_{k=1}^{N+1} e^{3 i k}-e^{3 i}\Bigr) = N e^{2 i}+e^{3 i}-\sum_{k=1}^{N+1} e^{3 i k}.
Passo 5
Agora calcule a soma geométrica finita \sum_{k=1}^{M} r^{k} com r=e^{3i} e M=N+1. Lembrando a fórmula da soma geométrica (válida quando r\neq 1):
\sum_{k=1}^{M} r^{k}=r\frac{1-r^{M}}{1-r}.
Aqui r=e^{3i}. Notas didáticas rápidas sobre essa fórmula:
A soma geométrica finita é obtida multiplicando por 1-r e cancelando termos; dá para memorizar ou deduzir sempre que necessário.
Mesmo que r seja complexo, a fórmula vale desde que r\neq 1. No nosso caso r=e^{3i}\neq 1 porque 3 não é múltiplo de 2\pi (ou seja, e^{3i}=1 só se 3=2\pi m para algum inteiro m, o que não acontece).
Aplicando com M=N+1:
\sum_{k=1}^{N+1} e^{3 i k} = e^{3 i}\,\frac{1-e^{3 i (N+1)}}{1-e^{3 i}}.
Passo 6
Substituindo na expressão de S_N:
S_N = N e^{2 i} + e^{3 i} - e^{3 i}\,\frac{1-e^{3 i (N+1)}}{1-e^{3 i}}.
Esta é uma forma explícita da soma parcial. Agora vamos estudar o comportamento quando N\to\infty.
Explanação sobre módulo das exponenciais complexas:
Para qualquer real \theta, |e^{i\theta}|=1. Então |e^{2i}|=1 e |e^{3i}|=1.
Assim o termo N e^{2i} tem módulo |N e^{2i}|=N: cresce linearmente com N.
Passo 7
Mostramos que os outros termos que aparecem em S_N (além de N e^{2i}) permanecem limitados por uma constante independente de N. Para ver isso, defina
R_N := e^{3 i} - e^{3 i}\,\frac{1-e^{3 i (N+1)}}{1-e^{3 i}}.
Podemos estimar |R_N|. Usando desigualdade triangular e que |e^{3i}|=1 e |1-e^{3 i (N+1)}|\le 2 (diferença de dois pontos no círculo unitário tem no máximo 2),
\biggl|e^{3 i}\,\frac{1-e^{3 i (N+1)}}{1-e^{3 i}}\biggr| = \frac{|1-e^{3 i (N+1)}|}{|1-e^{3 i}|} \le \frac{2}{|1-e^{3 i}|}.
que é uma constante fixa (não depende de N). Conclusão: a parte que não cresce é uniformemente limitada.
Passo 8
Agora junte as observações: S_N = N e^{2i} + R_N, com |R_N|\le C para alguma constante C>0. Então
|S_N|\ge |N e^{2i}| - |R_N| = N - |R_N| \ge N - C.
Quando N\to\infty, N-C\to\infty. Logo |S_N|\to\infty, ou seja, as somas parciais não têm limite finito: a série diverge (mais precisamente, as somas parciais têm norma que cresce sem limite).
Intuição simples: a soma contém N vezes o termo fixo e^{2i}; isso sozinho já faria a soma parcial crescer linearmente. A segunda parte (a soma geométrica) é limitada e não consegue cancelar o crescimento linear para todos os N.
Passo 9
Comentário sobre tentativa de soma telescópica: a expressão dada não tem a típica forma telescópica b_n-b_{n+1} (onde os termos se cancelariam), pois o primeiro termo de cada parcela é sempre o mesmo e^{2i} e não depende de n. Assim não há cancelamento total que leve a uma soma finita quando N\to\infty. O correto é ver que há um termo constante somado N vezes, o que impõe divergência.