Determine se a série é convergente ou divergente expressando sn como soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma.
sumn=1^infty 2n^2-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar a técnica de soma telescópica. Essa matéria faz parte de séries infinitas e sequências, onde a gente estuda se a soma dos termos tende a um valor específico ou não. Vamos precisar entender frações parciais e como elas podem simplificar a expressão para identificarmos a soma telescópica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 2n^2-1 = 2(n-1)(n+1) . Observamos que pode ser fatorado como . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos decompôr essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes 2(n-1)(n+1) = An-1 + Bn+1 e 2 = A(n+1) + B(n-1) tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Para encontrar 2 = A(1+1) + B(1-1) Rightarrow 2 = 2A Rightarrow A = 1 e 2 = A(-1+1) + B(-1-1) Rightarrow 2 = -2B Rightarrow B = -1 , vamos escolher valores de 2n^2-1 = 1n-1 - 1n+1 que simplifiquem a equação. Se :
Se :
Então, substituindo e :

Passo 5

Agora, reescrevemos a série original usando as frações parciais encontradas:
sumn=2^infty ( 1n-1 - 1n+1 )
Observação: Começamos a soma a partir de para evitar a divisão por zero quando .

Passo 6

Vamos expandir os primeiros termos da série para ver o que acontece:
( 12-1 - 12+1 ) + ( 13-1 - 13+1 ) + ( 14-1 - 14+1 ) + dots
Simplificando:
( 1 - 13 ) + ( 12 - 14 ) + ( 13 - 15 ) + dots

Passo 7

Perceba que muitos termos se cancelam nessa soma telescópica. Vamos escrever a soma parcial até o termo Sm = 1 + 12 - 1m - 1m+1 :

Passo 8

Agora, para encontrar a soma total da série, vamos calcular o limite de limm to infty ( 1 + 12 - 1m - 1m+1 ) = 1 + 12 = 32 quando tende ao infinito:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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