Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar a técnica de soma telescópica. Essa matéria faz parte de séries infinitas e sequências, onde a gente estuda se a soma dos termos tende a um valor específico ou não. Vamos precisar entender frações parciais e como elas podem simplificar a expressão para identificarmos a soma telescópica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Observamos que
pode ser fatorado como
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos decompôr essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Se
:
Se
:
Então, substituindo
e
:
Passo 5
Agora, reescrevemos a série original usando as frações parciais encontradas:
Observação: Começamos a soma a partir de
para evitar a divisão por zero quando
.
Passo 6
Vamos expandir os primeiros termos da série para ver o que acontece:
Simplificando:
Passo 7
Perceba que muitos termos se cancelam nessa soma telescópica. Vamos escrever a soma parcial até o termo
:
Passo 8
Agora, para encontrar a soma total da série, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.