Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente.
em potências de
.
Passo 1
A questão pede para desenvolver em série de potências a função
em torno de
. O conteúdo é expansão em série de potências (Taylor) e vamos precisar do desenvolvimento binomial para expoentes negativos.
Passo 2
Para facilitar, definimos
. Assim
e fica mais claro que
Passo 3
Sabendo que para
vale a série binomial
basta voltar a variável original:
Passo 4
e a série é válida sempre que
, ou seja
. Graficamente, o disco de convergência é o disco centrado em
de raio
, que não inclui o ponto
, pois ali está o polo de ordem 2.