Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente.
f(z)=1 / z^2 em potências de z-1.

Passo 1

A questão pede para desenvolver em série de potências a função f(z)=1/z^2 em torno de z0=1. O conteúdo é expansão em série de potências (Taylor) e vamos precisar do desenvolvimento binomial para expoentes negativos.

Passo 2

Para facilitar, definimos w=z-1. Assim z=1+w e fica mais claro que
f(z)=1z^2=1(1+w)^2

Passo 3

Sabendo que para |w|<1 vale a série binomial
(1+w)^-2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)w^n,
basta voltar a variável original:
1z^2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)(z-1)^n,

Passo 4

e a série é válida sempre que |w|<1, ou seja |z-1|<1. Graficamente, o disco de convergência é o disco centrado em 1 de raio 1, que não inclui o ponto z=0, pois ali está o polo de ordem 2.

Resposta

1z^2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)(z-1)^n,com convergência para |z-1|<1ê

Exercícios relacionados