Determine os raios de convergência das séries dadas nos Exercs. 8 a 16 .
sumn=1^infty n3^n z^n^2.

Passo 1

O exercício pede para determinar o raio de convergência da série sumn=1^infty n3^n z^n^2. Vamos usar o critério da raiz (root test) para séries de potência lacunares.

Passo 2

Aplicando o critério da raiz, consideramos limsupntoinfty l|tfracn3^n z^n^2r|^1/n. Calculando em bloco:
l(tfracn3^n,|z|^n^2r)^1/n=n^1/ncdot|z|^ncdot3^-1

Passo 3

Observando que limntoinftyn^1/n=1, o critério nos leva a analisar limntoinfty|z|^n3. Se |z|<1, o limite é 0<1 (converge); se |z|>1, o limite é infty>1 (diverge). Portanto, o raio de convergência é R=1.

Resposta

R=1

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