Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache sua soma.
\sum_{n=1}{\infty}\left(\frac{15}{n}+\frac{1}{8{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{15}{n}+\frac{1}{8^{n}}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, tenho que achar sua soma. Informações dadas que vou usar:
\text{para cada }n\ge 1,\quad a_n=\frac{15}{n}+\frac{1}{8^{n}}.
Não há outras condições ocultas; a série é a soma das duas sequências term a termo.

Passo 2

Usamos a linearidade das séries (soma termo a termo). Posso escrever a série original como soma de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{15}{n}+\frac{1}{8^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{15}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8^{n}}.
Explico: se x_n e y_n são termos de séries, então \sum (x_n+y_n)=\sum x_n + \sum y_n, desde que as somas façam sentido (no caso de termos não-negativos, essa igualdade é sempre válida, e aqui todos os termos são positivos).

Passo 3

Analiso a primeira série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{15}{n}.
Fatorando a constante, tenho
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{15}{n}=15\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a famosa série harmônica. Vou justificar por um teste simples por que ela diverge: uso o teste integral (ou o resultado padrão de p-séries com p=1).
O teste integral diz que, para uma função positiva e decrescente f(x) em [1,\infty), a série \sum_{n=1}^\infty f(n) e a integral impropria \int_1^\infty f(x)\,dx têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Aqui posso escolher f(x)=1/x, que é positiva e decrescente em [1,\infty). Calculo a integral:
\int_1^N \frac{1}{x}\,dx = \ln N.
Como \lim_{N\to\infty}\ln N=+\infty, a integral diverge, logo a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} também diverge. Consequentemente,
15\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
também diverge (multiplicar por constante positiva não altera a divergência).

Passo 4

Para completar a comparação, analiso a segunda série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8^{n}}.
Esta é uma série geométrica de razão r=\frac{1}{8}. A fórmula padrão para uma série geométrica é:
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}\quad\text{se }|r|<1.
Aqui r=\frac{1}{8} e |r|<1, então a série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8^{n}}=\frac{\tfrac{1}{8}}{1-\tfrac{1}{8}}=\frac{\tfrac{1}{8}}{\tfrac{7}{8}}=\frac{1}{7}.

Passo 5

Agora juntando as informações: a série total é soma de uma série divergente 15\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} e de uma série convergente \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8^{n}}=\tfrac{1}{7}. Como os termos são todos positivos, a soma de uma parte que diverge para +\infty com outra finita diverge para +\infty. Portanto a série inteira diverge (não é convergente), e não existe soma finita para ela.

Resposta

Divergente (diverge para +\infty).

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