Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache sua soma.
\sum_{n=1}{\infty}\left(\frac{15}{n}+\frac{1}{8{n}}\right)
\sum_{n=1}{\infty}\left(\frac{15}{n}+\frac{1}{8{n}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, tenho que achar sua soma. Informações dadas que vou usar:
Não há outras condições ocultas; a série é a soma das duas sequências term a termo.
Passo 2
Usamos a linearidade das séries (soma termo a termo). Posso escrever a série original como soma de duas séries:
Explico: se
e
são termos de séries, então
, desde que as somas façam sentido (no caso de termos não-negativos, essa igualdade é sempre válida, e aqui todos os termos são positivos).
Passo 3
Analiso a primeira série
.
Fatorando a constante, tenho
Fatorando a constante, tenho
A série
é a famosa série harmônica. Vou justificar por um teste simples por que ela diverge: uso o teste integral (ou o resultado padrão de p-séries com
).
O teste integral diz que, para uma função positiva e decrescente
em
, a série
e a integral impropria
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Aqui posso escolher
, que é positiva e decrescente em
. Calculo a integral:
Como
, a integral diverge, logo a série
também diverge. Consequentemente,
também diverge (multiplicar por constante positiva não altera a divergência).
Passo 4
Para completar a comparação, analiso a segunda série
.
Esta é uma série geométrica de razão . A fórmula padrão para uma série geométrica é:
Esta é uma série geométrica de razão
Aqui
e
, então a série converge e sua soma é
Passo 5
Agora juntando as informações: a série total é soma de uma série divergente
e de uma série convergente
. Como os termos são todos positivos, a soma de uma parte que diverge para
com outra finita diverge para
. Portanto a série inteira diverge (não é convergente), e não existe soma finita para ela.
Resposta
Divergente (diverge para
).