Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache sua soma.
\sum_{n=1}{\infty}\left(\left(\frac{7}{6}\right){n-1}+\frac{3}{3^{n}}\right)
\sum_{n=1}{\infty}\left(\left(\frac{7}{6}\right){n-1}+\frac{3}{3^{n}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos também achar a soma.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A série é, termo a termo, a soma de duas sequências:
e
.
Os termos são positivos para todo
.
Não há indicação de truncamento; a série vai de
até infinito.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Primeiro lembrete útil (ferramenta que usamos aqui): para uma série
ser convergente é necessário (condição necessária) que os termos
tendam a zero quando
. Se
, a série diverge imediatamente. Esse teste é chamado de teste do termo geral (ou teste da condição necessária).
Passo 3
Aplique o teste do termo geral ao termo geral da série. O termo geral é
Calcule o limite de cada parcela quando
.
Para a primeira parcela, como
, potências com expoente crescendo também crescem sem limite; portanto
Para a segunda parcela, como
tem valor absoluto menor que
,
Passo 4
Agora combine os limites para o termo geral:
Em particular
. Pelo teste do termo geral, a série
diverge. Não há necessidade de calcular somas parciais: se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.
Passo 5
(Apenas para fixar conceito e prática: embora a primeira parte faça divergir a série inteira, podemos observar que a segunda soma isoladamente é uma série geométrica convergente. De fato,
e como
essa soma vale
Mesmo assim, somar um valor finito
a um termo cujo somatório diverge para
deixa a série total divergente para
.)
Resposta
A série diverge (diverge para
).