Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache sua soma.
\sum_{n=1}{\infty}\left(\left(\frac{7}{6}\right){n-1}+\frac{3}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(\frac{7}{6}\right)^{n-1}+\frac{3}{3^{n}}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos também achar a soma.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;1) A série é, termo a termo, a soma de duas sequências: \left(\frac{7}{6}\right)^{n-1} e \frac{3}{3^{n}}.
\;2) Os termos são positivos para todo n.
\;3) Não há indicação de truncamento; a série vai de n=1 até infinito.

Passo 2

Primeiro lembrete útil (ferramenta que usamos aqui): para uma série \sum_{n=1}^\infty a_n ser convergente é necessário (condição necessária) que os termos a_n tendam a zero quando n\to\infty. Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série diverge imediatamente. Esse teste é chamado de teste do termo geral (ou teste da condição necessária).

Passo 3

Aplique o teste do termo geral ao termo geral da série. O termo geral é
a_n=\left(\frac{7}{6}\right)^{n-1}+\frac{3}{3^{n}}.
Calcule o limite de cada parcela quando n\to\infty.
Para a primeira parcela, como \frac{7}{6}>1, potências com expoente crescendo também crescem sem limite; portanto
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{7}{6}\right)^{n-1}=+\infty.
Para a segunda parcela, como \frac{1}{3} tem valor absoluto menor que 1,
\lim_{n\to\infty}\frac{3}{3^{n}}=\lim_{n\to\infty}3\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=0.

Passo 4

Agora combine os limites para o termo geral:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\left(\frac{7}{6}\right)^{n-1}+\frac{3}{3^{n}}\right)=+\infty+0=+\infty.
Em particular \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0. Pelo teste do termo geral, a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
diverge. Não há necessidade de calcular somas parciais: se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Passo 5

(Apenas para fixar conceito e prática: embora a primeira parte faça divergir a série inteira, podemos observar que a segunda soma isoladamente é uma série geométrica convergente. De fato,
\sum_{n=1}^\infty \frac{3}{3^n}=3\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^n
e como |1/3|<1 essa soma vale
3\cdot\frac{1/3}{1-1/3}=3\cdot\frac{1/3}{2/3}=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Mesmo assim, somar um valor finito \frac{3}{2} a um termo cujo somatório diverge para +\infty deixa a série total divergente para +\infty.)

Resposta

A série diverge (diverge para +\infty).

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