Calcule:
\int x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função x e^{x}, isto é, calcular
\int x e^{x}\,dx.
O conteúdo necessário é o método de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.

Passo 2

No método de integração por partes, escolhemos duas funções u e dv de modo que du e v sejam fáceis de obter. Vamos fazer
u = x, \qquad dv = e^{x}\,dx.
Dessa forma,
du = dx \qquad\text{e}\qquad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 3

A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u\,v \;-\;\int v\,du.
Aplicando ao nosso caso,
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} \;-\;\int e^{x}\,dx.

Passo 4

Agora basta encontrar \int e^{x}\,dx. Como a primitiva de e^{x} é ela própria, temos
\int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C \;=\; e^{x}(x - 1) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

e^{x}(x - 1) + C

Exercícios relacionados