Determine se a série dada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n \sqrt{n^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir convergência ou divergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n\,\sqrt{n^{2}-1}}.
O conteúdo principal aqui é o teste de comparação com séries p-séries. Vamos precisar de duas coisas: reescrever o termo geral de forma assintótica e compará-lo a uma série do tipo \sum 1/n^{p}.

Passo 2

Simplificamos o termo geral
a_{n}=\frac{\sqrt{n}}{n\,\sqrt{n^{2}-1}}
escrevendo \sqrt{n}/n=n^{-1/2} e juntando raízes:
a_{n} =\frac{n^{-1/2}}{\sqrt{n^{2}-1}} =\frac{1}{\sqrt{n^{3}-n}}.
Para n grande, n^{3}-n\sim n^{3}, logo
a_{n}\sim\frac{1}{\sqrt{n^{3}}}=\frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite com a série \sum1/n^{3/2}. Seja
b_{n}=\frac{1}{n^{3/2}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt{n^{3}-n}}{1/n^{3/2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}}{\sqrt{n^{3}-n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1-1/n^{2}}} =1.
Como \sum b_{n}=\sum1/n^{3/2} é convergente p=3/2>1 e o limite acima é finito e não nulo, concluímos que \sum a_{n} também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados