Para cada série, sendo \left\{S_{n}\right\} a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para S_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter uma fórmula para a sequência das somas parciais \{S_{n}\} da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}},
ou seja, uma expressão de S_{n} em termos de n; (2) determinar se a série infinita é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar a sua soma.
Informações fornecidas: o termo geral da série é \dfrac{2^{n-1}}{3^{n}} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos primeiro manipular o termo geral para reconhecer um padrão mais simples. Repare que, para cada n,
\frac{2^{n-1}}{3^{n}}=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{\,n-1}.
Aqui eu apenas separei um fator \dfrac{1}{3} e escrevi o resto como potência de \dfrac{2}{3}. Verifique para n=1: \dfrac{2^{0}}{3^{1}}=\dfrac{1}{3}, e a expressão \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{0} também dá \dfrac{1}{3}. Portanto a escrita está correta.
Com isso, a soma parcial S_{n} (soma dos primeiros n termos) é a soma de uma progressão geométrica do tipo
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}.
Para simplificar a notação, chame a=\dfrac{1}{3} o primeiro termo e r=\dfrac{2}{3} a razão. Assim temos
S_{n}=a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n-1}.

Passo 3

Agora uma breve aula sobre soma de progressão geométrica finita (fórmula e por que funciona). Seja uma soma geométrica finita
S_{n}=a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n-1}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS_{n}=a r + a r^{2} + \cdots + a r^{n}.
Subtraindo as duas equações (ou seja, S_{n}-rS_{n}) os termos intermediários se anulam, restando apenas os extremos:
S_{n}-rS_{n}=a - a r^{n}.
Fatorando S_{n}(1-r)=a(1-r^{n}), logo, desde que r\neq 1,
\boxed{\,S_{n}=\dfrac{a\bigl(1-r^{n}\bigr)}{1-r}\,.}
Nesta fórmula: a é o primeiro termo da soma (aqui a=\dfrac{1}{3}) e r é a razão (aqui r=\dfrac{2}{3}). Essa é uma fórmula básica que vale para qualquer soma geométrica finita com r\neq 1.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com a=\dfrac{1}{3} e r=\dfrac{2}{3}. Substituindo:
S_{n}=\frac{\dfrac{1}{3}\bigl(1-(\tfrac{2}{3})^{n}\bigr)}{1-\tfrac{2}{3}}.
Calcule o denominador 1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}. Então
S_{n}=\frac{\dfrac{1}{3}\bigl(1-(\tfrac{2}{3})^{n}\bigr)}{\tfrac{1}{3}}=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Portanto a fórmula fechada para as somas parciais é
\boxed{\,S_{n}=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\,.}

Passo 5

Vamos decidir sobre a convergência da série infinita. A série converge se e somente se o limite dos S_{n} quando n\to\infty existir e for finito. Usando a fórmula obtida,
\lim_{n\to\infty} S_{n}=\lim_{n\to\infty}\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right].
Como \left|\dfrac{2}{3}\right|<1, sabemos (fato básico sobre potências) que
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty} S_{n}=1-0=1.
Assim a série é convergente e sua soma é 1.

Resposta

S_{n}=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}
A série é convergente e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^{n}}=1.

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