Para cada série, sendo \left\{S_{n}\right\} a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para S_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) obter uma fórmula para a sequência das somas parciais \{S_{n}\} da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}},
ou seja, uma expressão de S_{n} em termos de n; (2) determinar se a série infinita é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar a sua soma.
Informações fornecidas: o termo geral da série é \dfrac{2^{n-1}}{3^{n}} para n=1,2,3,\dots.
Passo 2
Vamos primeiro manipular o termo geral para reconhecer um padrão mais simples. Repare que, para cada n,
Aqui eu apenas separei um fator \dfrac{1}{3} e escrevi o resto como potência de \dfrac{2}{3}. Verifique para n=1: \dfrac{2^{0}}{3^{1}}=\dfrac{1}{3}, e a expressão \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{0} também dá \dfrac{1}{3}. Portanto a escrita está correta.
Com isso, a soma parcial S_{n} (soma dos primeiros n termos) é a soma de uma progressão geométrica do tipo
Nesta fórmula: a é o primeiro termo da soma (aqui a=\dfrac{1}{3}) e r é a razão (aqui r=\dfrac{2}{3}). Essa é uma fórmula básica que vale para qualquer soma geométrica finita com r\neq 1.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com a=\dfrac{1}{3} e r=\dfrac{2}{3}. Substituindo:
Vamos decidir sobre a convergência da série infinita. A série converge se e somente se o limite dos S_{n} quando n\to\infty existir e for finito. Usando a fórmula obtida,