Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
5.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2^{n}}
O que é pedido:
  • Determinar se a série é convergente ou divergente.
  • Se for convergente, achar a sua soma.
Informações explícitas do enunciado:
  • O termo geral é \dfrac{3}{2^{n}} para n=1,2,3,\dots.
  • A soma é tomada de n=1 até +\infty.

Passo 2

Identificar o tipo de série e a ideia de teste que vamos usar.
Uma série muito comum é a série geométrica. Ela tem a forma geral
\sum_{k=0}^{+\infty} a r^{k},
onde a é o primeiro termo (quando o índice começa em k=0) e r é a razão comum entre termos consecutivos. Para séries geométricas vale o critério simples:
  • Se |r|<1, a série converge e sua soma é
\sum_{k=0}^{+\infty} a r^{k}=\frac{a}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série diverge.
Vou deduzir rapidamente a fórmula da soma para reforçar como aplicá-la (isso é útil na prova, memorize o método): considere a soma parcial com N termos
S_N = a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N-1}.
Multiplicando por r temos
r S_N = a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N}.
Subtraindo as duas expressões:
S_N - r S_N = a - a r^{N},
ou seja
S_N(1-r) = a(1-r^{N}).
Se r\neq 1,
S_N = a\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e portanto
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{a}{1-r}.

Passo 3

Aplicar essa ideia à série dada.
Escrevemos o termo geral como
\frac{3}{2^{n}}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Isso é uma série geométrica com razão
r=\frac{1}{2}.
Temos duas formas de identificar o primeiro termo a, dependendo de onde preferimos começar o índice:
  • Se preferirmos a forma padrão com índice começando em k=0, podemos reescrever a soma mudando o índice; ou
  • Mais direto: como a soma começa em n=1, o primeiro termo é
a=\frac{3}{2^{1}}=\frac{3}{2}.
Portanto a=\dfrac{3}{2} e r=\dfrac{1}{2}. Note que
|r|=\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1,
então, pelo critério da série geométrica, a série converge.

Passo 4

Calcular a soma usando a fórmula da série geométrica.
Usando
\sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1}=\frac{a}{1-r},
ou diretamente com nosso a e r:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right) = \frac{3/2}{1-1/2}.
Calculemos passo a passo:
1- \frac{1}{2}=\frac{1}{2},
\frac{3/2}{1/2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{1}=3.
Uma forma alternativa rápida (muito usada na prova) é fatorar 3:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^{n}}=3\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} =3\cdot 1=3,
porque \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=1. (Isso vem da fórmula com a=\tfrac{1}{2} e r=\tfrac{1}{2}.)

Passo 5

Resumo final e observação rápida para a prova.
  • A série é geométrica com razão \dfrac{1}{2}, que tem valor absoluto menor que 1, logo a série converge.
  • A soma vale 3.
Força aí — leitura curta e direto ao ponto: sempre tente reconhecer séries geométricas e usar a fórmula da soma parcial que deduzimos. No tempo de prova isso salva muito tempo.

Resposta

Convergente
Soma: 3

Exercícios relacionados