Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left[\cos \frac{1}{n} \pi+1\right]}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)+1}{2^{n}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também encontrar a sua soma.
Informações dadas:
  • Termo geral da série é \dfrac{\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)+1}{2^{n}}.
  • A soma é a soma da série numérica usual (não uma série de funções).
O que é pedido:
  • Verificar convergência (sim/não).
  • Se convergente, calcular (ou aproximar com certeza) o valor da soma.

Passo 2

Primeira ideia útil: separar a série em duas partes (linearidade da soma):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)+1}{2^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}.
A segunda soma é uma série geométrica clássica; a primeira precisa de análise, mas podemos testar convergência antes de tentar somá‑la.

Passo 3

Convergência: usar comparação com uma geométrica.
Observação sobre o numerador: para todo n\ge 1 vale -1\le \cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\le 1. Assim
0 \le \cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)+1 \le 2.
Logo o termo geral satisfaz
0 \le \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)+1}{2^{n}} \le \frac{2}{2^{n}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{2^{n}} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n}} é geométrica com razão r=\tfrac12 e converge (porque |r|<1). Pelo teste da comparação, nossa série é majorada por uma série convergente de termos não negativos, portanto nossa série converge absolutamente (e, em particular, converge).
Comentário didático rápido: comparar com uma geométrica é um truque padrão quando aparece 2^{n} no denominador. A série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge para \dfrac{r}{1-r} quando |r|<1. Aqui usamos que \sum 1/2^{n} converge.

Passo 4

Calcular a soma: a parte geométrica é imediata. Para a segunda soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{\tfrac12}{1-\tfrac12} = 1.
Assim a soma total é
S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2^{n}} + 1.
A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos(\pi/n)}{2^{n}} não tem uma forma elementar fechada conhecida (não é uma geométrica nem uma série de potências simples com parâmetro fixo), então a abordagem prática na prova é:
  • justificar convergência (feito),
  • e obter a soma numericamente com controle de erro usando somas parciais e um limite para o resto.

Passo 5

Como calcular numericamente com garantia de erro pequeno: usar soma parcial e majorante do resto.
Defina a soma parcial dos N primeiros termos:
S_N=\sum_{n=1}^{N} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)+1}{2^{n}}.
O resto R_N = S - S_N é
R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)+1}{2^{n}}.
Como \cos(\pi/n)+1\le 2, temos
0\le R_N \le \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{2}{2^{n}} = 2\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{2}{2^{N}}.
Portanto escolhemos N de modo que \dfrac{2}{2^{N}} seja pequeno (por exemplo, para N=20 obtemos \dfrac{2}{2^{20}}\approx 1,907\times10^{-6}).

Passo 6

Cálculo das somas parciais (procedimento e alguns termos):
Vou mostrar os primeiros termos para ver a convergência rápida (todos os valores numéricos abaixo são aproximados):
\begin{aligned} n=1 &: \frac{\cos(\pi)+1}{2} = \frac{-1+1}{2}=0,\\\ n=2 &: \frac{\cos(\pi/2)+1}{4} = \frac{0+1}{4}=0{,}25,\\\ n=3 &: \frac{\cos(\pi/3)+1}{8} = \frac{0{,}5+1}{8}=0{,}1875,\\\ n=4 &: \frac{\cos(\pi/4)+1}{16}\approx 0{,}10669417,\\\ n=5 &: \frac{\cos(\pi/5)+1}{32}\approx 0{,}05653178,\\\ n=6 &: \frac{\cos(\pi/6)+1}{64}\approx 0{,}02915665. \end{aligned}
Somando esses primeiros termos já se chega perto de 0{,}63. Calculando termos até N=20 (com calculadora ou software) obteve‑se
S_{20}\approx 0{,}659854936.
Pelo passo anterior, o resto R_{20} satisfaz
0\le R_{20} \le \frac{2}{2^{20}} \approx 1{,}907\times10^{-6}.
Portanto
S = S_{20} + R_{20} \in \bigl[\,0{,}659854936,\;0{,}659854936+0{,}000001907\,\bigr],
ou seja, com erro menor que 2\times10^{-6} temos
S\approx 0{,}659856\quad(\text{com garantia de erro }<2\cdot10^{-6}).

Passo 7

Interpretação final e dica prática para a prova: o passo chave é reconhecer que os termos são majorados por uma geométrica 2/2^{n}, o que dá convergência absoluta imediatamente. Para encontrar a soma, separar a parte geométrica conhecida ( \sum 1/2^{n}=1) e aproximar numericamente a parte com \cos(\pi/n) por somas parciais; controlar o erro do resto usando a desigualdade \cos(\pi/n)+1\le 2. Em provas sem calculadora, é suficiente justificar convergência e, se pedirem soma numérica, apresentar um procedimento de aproximação com estimativa do erro como fizemos.

Resposta

Convergente.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)+1}{2^{n}}\approx 0{,}659856

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