Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left[\cos \frac{1}{n} \pi+1\right]}{2^{n}}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left[\cos \frac{1}{n} \pi+1\right]}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também encontrar a sua soma.
Informações dadas:
- Termo geral da série é
. - A soma é a soma da série numérica usual (não uma série de funções).
O que é pedido:
- Verificar convergência (sim/não).
- Se convergente, calcular (ou aproximar com certeza) o valor da soma.
Passo 2
Primeira ideia útil: separar a série em duas partes (linearidade da soma):
A segunda soma é uma série geométrica clássica; a primeira precisa de análise, mas podemos testar convergência antes de tentar somá‑la.
Passo 3
Convergência: usar comparação com uma geométrica.
Observação sobre o numerador: para todo
vale
. Assim
Logo o termo geral satisfaz
A série
é geométrica com razão
e converge (porque
). Pelo teste da comparação, nossa série é majorada por uma série convergente de termos não negativos, portanto nossa série converge absolutamente (e, em particular, converge).
Comentário didático rápido: comparar com uma geométrica é um truque padrão quando aparece
no denominador. A série geométrica
converge para
quando
. Aqui usamos que
converge.
Passo 4
Calcular a soma: a parte geométrica é imediata. Para a segunda soma:
Assim a soma total é
A série
não tem uma forma elementar fechada conhecida (não é uma geométrica nem uma série de potências simples com parâmetro fixo), então a abordagem prática na prova é:
- justificar convergência (feito),
- e obter a soma numericamente com controle de erro usando somas parciais e um limite para o resto.
Passo 5
Como calcular numericamente com garantia de erro pequeno: usar soma parcial e majorante do resto.
Defina a soma parcial dos
primeiros termos:
O resto
é
Como
, temos
Portanto escolhemos
de modo que
seja pequeno (por exemplo, para
obtemos
).
Passo 6
Cálculo das somas parciais (procedimento e alguns termos):
Vou mostrar os primeiros termos para ver a convergência rápida (todos os valores numéricos abaixo são aproximados):
Somando esses primeiros termos já se chega perto de
. Calculando termos até
(com calculadora ou software) obteve‑se
Pelo passo anterior, o resto
satisfaz
Portanto
ou seja, com erro menor que
temos
Passo 7
Interpretação final e dica prática para a prova: o passo chave é reconhecer que os termos são majorados por uma geométrica
, o que dá convergência absoluta imediatamente. Para encontrar a soma, separar a parte geométrica conhecida (
) e aproximar numericamente a parte com
por somas parciais; controlar o erro do resto usando a desigualdade
. Em provas sem calculadora, é suficiente justificar convergência e, se pedirem soma numérica, apresentar um procedimento de aproximação com estimativa do erro como fizemos.
Resposta
Convergente.