Exercício 07: Determine quais das frases abaixo são proposições e quais não são, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides:
\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{3-7}{10}.

Passo 1

O enunciado dá a frase
\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{3-7}{10}.
O que se pede: determinar se essa frase é uma proposição ou não, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides.
Explicando a Definição 2 (de forma clara e prática): uma frase é uma proposição se for uma sentença declarativa que tem um valor de verdade bem definido — isto é, pode ser classificada como verdadeira ou falsa (não pode ser ambígua, uma pergunta, uma ordem, nem depender de opiniões). Exemplos rápidos: 2+2=4 é proposição verdadeira; "Vai chover?" não é proposição; "Feche a porta." não é proposição. A definição exige que, ao avaliar a frase, seja possível dizer sem ambiguidade se é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Verificando se a frase dada é do tipo declarativo: a expressão \frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{3-7}{10} afirma uma igualdade entre dois números. Isso é uma sentença declarativa (não é pergunta nem ordem) e sua verdade depende apenas do cálculo aritmético — portanto, atende ao primeiro requisito da Definição 2 (ser declarativa e não ambígua).

Passo 3

Agora vamos calcular o lado esquerdo passo a passo. Para subtrair frações \frac{1}{3}-\frac{1}{7} usamos o denominador comum:
\frac{1}{3}=\frac{7}{21},\qquad \frac{1}{7}=\frac{3}{21}.
Logo
\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{7}{21}-\frac{3}{21}=\frac{7-3}{21}=\frac{4}{21}.

Passo 4

Agora o lado direito: calcule \frac{3-7}{10}.
3-7=-4,
então
\frac{3-7}{10}=\frac{-4}{10}.
Podemos simplificar \frac{-4}{10} dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{-4}{10}=\frac{-2}{5}.

Passo 5

Comparando os dois resultados: o lado esquerdo é \frac{4}{21} e o direito é \frac{-2}{5}. Para ver formalmente que não são iguais, multiplicamos em cruz:
\frac{4}{21}=\frac{-2}{5}\quad\Longrightarrow\quad 4\cdot 5 = -2\cdot 21.
O lado esquerdo dá 4\cdot 5=20 e o direito dá -2\cdot 21=-42. Como 20\neq -42, as frações não são iguais. Portanto a igualdade é falsa.

Passo 6

Conclusão formal com base na Definição 2: a frase é uma sentença declarativa cujo valor de verdade pode ser determinado univocamente (não ambígua), logo é uma proposição; o cálculo mostrou que a afirmação é falsa. Em termos de valor de verdade: proposição — valor falso.

Resposta

A frase é uma proposição e é falsa.

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