Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo é séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula de soma.
Passo 2
Observando os termos, cada termo após o primeiro é obtido multiplicando o anterior por $\frac{1}{4}$. Logo, é uma série geométrica de primeiro termo $a = 1$ e razão $r = \frac{1}{4}$.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica
converge se e somente se $|r| < 1$. Aqui temos $|r| = |\tfrac{1}{4}| = 0,25 < 1$, portanto a série converge.
Passo 4
A soma de uma série geométrica convergente é dada por
Substituindo os valores temos
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.