Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
1+14+116+164+ldots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo é séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula de soma.

Passo 2

Observando os termos, cada termo após o primeiro é obtido multiplicando o anterior por $\frac{1}{4}$. Logo, é uma série geométrica de primeiro termo $a = 1$ e razão $r = \frac{1}{4}$.

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica |r| < 1 converge se e somente se $|r| < 1$. Aqui temos $|r| = |\tfrac{1}{4}| = 0,25 < 1$, portanto a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é dada por
S = a1 - r
Substituindo os valores temos
S = 11 - tfrac14 = 1tfrac34 = 43

Resposta

A série é convergente e sua soma é tfrac43.

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