Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(e^x+y-y) d x+(x e^x+y+1) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem (e^x+y-y),dx+(x e^x+y+1),dy=0e pede para testar exatidão, usar fatores integrantes se necessário e obter a solução geral.

Passo 2

Definimos as funções M(x,y)=e^x+y-y e N(x,y)=x e^x+y+1. Calculamos as derivadas parciais: partial Mpartial y=e^x+y-1, partial Npartial x=e^x+y(1+x)Como Myneq Nx, a EDO não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante dependente só de x. Usamos o teste My-NxN=-1,que é função só de x. Logo mu(x)=e^integral -1,dx=e^-x

Passo 4

Multiplicamos a EDO por e^-x. Obtemos as novas funções tilde M=e^-x(e^x+y-y)=e^y - y e^-x, tilde N=e^-x(x e^x+y+1)=x e^y + e^-x
Verificamos que agora tilde My= e^y - e^-x=tilde Nx, tornando a equação exata.

Passo 5

Buscamos a função potencial psi(x,y) tal que psix=tilde M. Integramos em relação a x:
psi(x,y)=integral(e^y - y e^-x),dx = x e^y + y e^-x + h(y)

Passo 6

Para achar h(y), derivamos em relação a y e igualamos a tilde N:
psiy = x e^y + e^-x + h'(y) = x e^y + e^-x implies h'(y)=0
Logo h(y)=C. A solução implícita fica o conjunto de nível de psi:
x e^y + y e^-x = C

Resposta

x e^{y} + y e^{-x} = C

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