Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
e pede para testar exatidão, usar fatores integrantes se necessário e obter a solução geral.
Passo 2
Definimos as funções
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a EDO não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante dependente só de
. Usamos o teste
que é função só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a EDO por
. Obtemos as novas funções
Verificamos que agora , tornando a equação exata.
Verificamos que agora
Passo 5
Buscamos a função potencial
tal que
. Integramos em relação a
:
Passo 6
Para achar
, derivamos em relação a
e igualamos a
:
Logo
Resposta
x e^{y} + y e^{-x} = C