Determine se a série a convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
é convergente ou divergente e, em caso afirmativo, calcular sua soma.

Passo 2

Decompondo o termo geral por frações parciais, temos
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}
e, resolvendo A(2n+1)+B(2n-1)=1, obtemos
A=\tfrac12, \quad B=-\tfrac12,
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\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

A soma parcial até N fica
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).
Ao expandir essa soma, todos os termos intermediários cancelam (telescopia), restando
S_{N} =\frac{1}{2}\Bigl(1-\frac{1}{2N+1}\Bigr).

Passo 4

Tomando o limite N\to\infty, o termo \frac{1}{2N+1} tende a zero, de modo que
\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{1}{2}.

Resposta

A série é convergente e sua soma é \frac{1}{2}.

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