(2,0 pontos) Marque V para verdadeiro e F para falso. Justifique sua resposta, isto é, se verdadeiro mostre que a proposição é verdadeira, se falso, apresente um contra-exemplo.
(a) ( ) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0 então a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é convergente.
(b) ( ) Se a sequência \left|a_{n}\right| é convergente então a sequência a_{n} é convergente.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações envolvendo sequências e séries infinitas e pede para marcarmos V (verdadeiro) ou F (falso), justificando cada caso. O conteúdo da matéria envolve conceitos de limite de sequência, convergência de séries e contra-exemplos.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Se \lim_{n\to+\infty}a_{n}=0 então a série \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} é convergente.”
Sabemos que, para uma série \sum a_n convergir, é necessário que \lim_{n\to\infty}a_n=0. Contudo, essa condição é apenas necessária e não suficiente.

Passo 3

Para (a) construir um contra-exemplo, escolhemos
a_n = \frac{1}{n}.
Temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0,
mas a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica, que é conhecida por divergir (por exemplo, pelo teste da integral ou comparando com uma soma de retângulos de área infinita). Logo, a afirmação (a) é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (b): “Se a sequência \lvert a_{n}\rvert é convergente então a sequência a_{n} é convergente.”
A convergência de \lvert a_n\rvert garante que os módulos de a_n tendem a um limite, mas não impede que a_n oscile em sinal, falhando assim a convergência propriamente dita.

Passo 5

Para (b) apresentamos o contra-exemplo
a_n = (-1)^n.
Aqui
\lvert a_n\rvert = 1
para todo n, de modo que \lvert a_n\rvert converge para 1. No entanto, a_n oscila entre 1 e -1 e não possui limite quando n\to\infty. Portanto, a afirmação (b) também é falsa.

Resposta

(a) F
(b) F

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