(2,0 pontos) Marque V para verdadeiro e F para falso. Justifique sua resposta, isto é, se verdadeiro mostre que a proposição é verdadeira, se falso, apresente um contra-exemplo.
(a) ( ) Se
então a série
é convergente.
(b) ( ) Se a sequência
é convergente então a sequência
é convergente.
(a) ( ) Se
(b) ( ) Se a sequência
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações envolvendo sequências e séries infinitas e pede para marcarmos V (verdadeiro) ou F (falso), justificando cada caso. O conteúdo da matéria envolve conceitos de limite de sequência, convergência de séries e contra-exemplos.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Se
então a série
é convergente.”
Sabemos que, para uma série convergir, é necessário que
. Contudo, essa condição é apenas necessária e não suficiente.
Sabemos que, para uma série
Passo 3
Para (a) construir um contra-exemplo, escolhemos
Temos
mas a série
é a série harmônica, que é conhecida por divergir (por exemplo, pelo teste da integral ou comparando com uma soma de retângulos de área infinita). Logo, a afirmação (a) é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (b): “Se a sequência
é convergente então a sequência
é convergente.”
A convergência de garante que os módulos de
tendem a um limite, mas não impede que
oscile em sinal, falhando assim a convergência propriamente dita.
A convergência de
Passo 5
Para (b) apresentamos o contra-exemplo
Aqui
para todo
, de modo que
converge para
. No entanto,
oscila entre
e
e não possui limite quando
. Portanto, a afirmação (b) também é falsa.
Resposta
(a) F
(b) F
(b) F