(pts) Calcule a integral.
\int \frac{3 e^{2 x}+2 e^{x}}{e^{2 x}-5 e^{x}+6} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{3 e^{2 x}+2 e^{x}}{e^{2 x}-5 e^{x}+6}\,dx.
Informações dadas (explicitando os termos do integrando):
  • Numerador: 3 e^{2x}+2 e^{x}.
  • Denominador: e^{2x}-5 e^{x}+6.
    A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função em termos de x.

Passo 2

Estratégia inicial: perceber que e^{x} aparece repetidamente. Fazer a substituição auxiliar
t = e^{x}.
Explicando por que isso ajuda: e^{2x}=(e^{x})^{2}=t^{2}, e a diferencial relaciona-se por
dt = e^{x}\,dx = t\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx=\frac{dt}{t}.
Substituindo tudo em termos de t a integral em x vira uma integral racional em t. Vamos fazer essa substituição passo a passo.

Passo 3

Substituindo t=e^{x} e dx=\dfrac{dt}{t} obtemos
\int \frac{3 e^{2 x}+2 e^{x}}{e^{2 x}-5 e^{x}+6}\,dx = \int \frac{3 t^{2}+2 t}{t^{2}-5 t+6}\cdot\frac{dt}{t}.
Agora simplificar a fração multiplicando pelo 1/t:
\frac{3 t^{2}+2 t}{t\,(t^{2}-5 t+6)}=\frac{3 t+2}{t^{2}-5 t+6}.
Portanto a integral fica
\int \frac{3 t+2}{t^{2}-5 t+6}\,dt.

Passo 4

Resolver a integral racional por frações parciais. Primeiro fatorar o denominador:
t^{2}-5 t+6=(t-2)(t-3).
Queremos escrever
\frac{3 t+2}{(t-2)(t-3)}=\frac{A}{t-2}+\frac{B}{t-3},
onde A\) e \(B\) são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por \((t-2)(t-3)\) obtemos a identidade polinomial \[3 t+2 = A(t-3)+B(t-2)=(A+B)t+(-3A-2B).
Comparando coeficientes do polinômio em t chegamos ao sistema linear
\begin{cases} A+B=3,\\[4pt] -3A-2B=2. \end{cases}
Resolver o sistema: de A=3-B\]. Substituindo na segunda equação, \[-3(3-B)-2B=2 \quad\Rightarrow\quad -9+3B-2B=2 \quad\Rightarrow\quad B=11.\] Então \(A=3-11=-8. Assim a decomposição é
\frac{3 t+2}{(t-2)(t-3)}=\frac{-8}{t-2}+\frac{11}{t-3}.]

Passo 5

Integrar termo a termo. A integral em t ficou
\int\left(\frac{-8}{t-2}+\frac{11}{t-3}\right)dt = -8\int\frac{1}{t-2}\,dt + 11\int\frac{1}{t-3}\,dt.
Recordando a primitiva básica: \displaystyle \int\frac{1}{t-a}\,dt=\ln|t-a|+C. Aplicando isso,
-8\ln|t-2| + 11\ln|t-3| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original x usando t=e^{x}. Substituindo:
-8\ln|e^{x}-2| + 11\ln|e^{x}-3| + C.
Comentário sobre valores absolutos: como e^{x}>0 para todo x, os argumentos e^{x}-2 e e^{x}-3 podem ser positivos ou negativos dependendo de x; por isso as barras de valor absoluto são necessárias na forma geral da primitiva.

Resposta

-8\ln|e^{x}-2| + 11\ln|e^{x}-3| + C

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