(pts) Calcule a integral.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas (explicitando os termos do integrando):
- Numerador:
. - Denominador:
.
A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função em termos de.
Passo 2
Estratégia inicial: perceber que
aparece repetidamente. Fazer a substituição auxiliar
Explicando por que isso ajuda:
, e a diferencial relaciona-se por
Substituindo tudo em termos de
a integral em
vira uma integral racional em
. Vamos fazer essa substituição passo a passo.
Passo 3
Substituindo
e
obtemos
Agora simplificar a fração multiplicando pelo
:
Portanto a integral fica
Passo 4
Resolver a integral racional por frações parciais. Primeiro fatorar o denominador:
Queremos escrever
onde
Comparando coeficientes do polinômio em
chegamos ao sistema linear
Resolver o sistema: de
. Assim a decomposição é
Passo 5
Integrar termo a termo. A integral em
ficou
Recordando a primitiva básica:
. Aplicando isso,
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável original
usando
. Substituindo:
Comentário sobre valores absolutos: como
para todo
, os argumentos
e
podem ser positivos ou negativos dependendo de
; por isso as barras de valor absoluto são necessárias na forma geral da primitiva.