Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma.
sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{n(n+3)}\

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n(n+3)}
e, se convergente, encontrar sua soma. O método mais direto aqui é usar frações parciais e reconhecer um comportamento telescópico.

Passo 2

Vamos decompor
\frac{3}{n(n+3)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+3}.
Multiplicando por n(n+3), obtemos
3 = A(n+3) + Bn = (A+B)\,n + 3A.
Para isso valer para todo n, igualamos coeficientes: A+B=0 e 3A=3. Logo A=1 e B=-1. Portanto
\frac{3}{n(n+3)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}.

Passo 3

Chamando de S_N a soma parcial até n=N, temos
S_N = \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\Bigr).
Esse tipo de soma “telescopa”: ao escrever os primeiros termos vemos
S_N = \Bigl(1+\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14+\cdots+\tfrac1N\Bigr) -\Bigl(\tfrac14+\tfrac15+\cdots+\tfrac{1}{N+3}\Bigr).
Cancelam-se todos os termos de \tfrac14 até \tfrac1N, sobrando
S_N = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 \;-\;\bigl(\tfrac{1}{N+1}+\tfrac{1}{N+2}+\tfrac{1}{N+3}\bigr).

Passo 4

Para N \to \infty, cada \tfrac{1}{N+k} tende a zero. Logo o limite da soma parcial é
\lim_{N\to\infty} S_N = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 = \frac{11}{6}.
Isso mostra que a série converge e sua soma é \tfrac{11}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{6}

Exercícios relacionados