Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se convergente, encontrar sua soma. O método mais direto aqui é usar frações parciais e reconhecer um comportamento telescópico.
Passo 2
Vamos decompor
Multiplicando por
, obtemos
Para isso valer para todo
, igualamos coeficientes:
e
. Logo
e
. Portanto
Passo 3
Chamando de
a soma parcial até
, temos
Esse tipo de soma “telescopa”: ao escrever os primeiros termos vemos
Cancelam-se todos os termos de
até
, sobrando
Passo 4
Para
, cada
tende a zero. Logo o limite da soma parcial é
Isso mostra que a série converge e sua soma é
.