\int \frac{3 x^{3}}{x^{4}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x^{3}}{x^{4}+1}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição, porque o denominador x^{4}+1 tem derivada proporcional ao numerador x^{3}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{4}+1.
Calculamos a diferencial de u:
du = 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{3x^{3}}{x^{4}+1}\,dx = \int \frac{3}{u}\,\bigl(x^{3}\,dx\bigr) = \int \frac{3}{u}\,\frac{du}{4} = \frac{3}{4}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Sabendo que
\int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C,
obtém-se
\frac{3}{4}\int \frac{du}{u} = \frac{3}{4}\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u = x^{4}+1. Logo, a antiderivada é
\frac{3}{4}\ln\bigl(x^{4}+1\bigr) + C.

Resposta

\frac{3}{4}\ln\bigl(x^{4}+1\bigr) + C.

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