Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pela parábola
y=2 x^{2}
e pela reta
y=8 x
.

Passo 1

O enunciado pede a área da região em que a parábola y=2x^2 fica abaixo da reta y=8x. Vamos usar o Teorema de Green, que nos diz que para uma curva fechada C com orientação positiva (região à esquerda),
\iint_{R}1\,dA =\oint_{C}P\,dx+Q\,dy
sempre que \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1. Aqui o objetivo é obter a área A=\iint_{R}1\,dA.

Passo 2

Escolhemos o campo vetorial
P(x,y)=0,\quad Q(x,y)=x,
porque
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-0=1.
Assim
A =\iint_{R}1\,dA =\oint_{C}0\,dx + x\,dy =\oint_{C}x\,dy.

Passo 3

Precisamos das interseções de y=2x^2 e y=8x. Igualando:
2x^2=8x \;\Longrightarrow\; 2x(x-4)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=4.
Isso dá os pontos (0,0) e (4,32).

Passo 4

Parametrizamos C em duas partes, no sentido anti-horário (região à esquerda):
C_{1} (reta de (4,32) a (0,0)):
x=t,\quad y=8t,\quad t\colon 4\to 0,
então dy=8\,dt.
C_{2} (parábola de (0,0) a (4,32)):
x=t,\quad y=2t^2,\quad t\colon 0\to 4,
então dy=4t\,dt.

Passo 5

Calculamos \displaystyle\oint_{C}x\,dy=\int_{C_{1}}x\,dy+\int_{C_{2}}x\,dy.
Para C_{1}:
\int_{4}^{0}t\cdot(8\,dt) =8\int_{4}^{0}t\,dt =8\Bigl[-\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{4} =8\bigl(0-\tfrac{16}{2}\bigr) =-8\cdot8 =-64.
Para C_{2}:
\int_{0}^{4}t\cdot(4t\,dt) =4\int_{0}^{4}t^2\,dt =4\Bigl[\tfrac{t^3}{3}\Bigr]_{0}^{4} =4\cdot\tfrac{64}{3} =\tfrac{256}{3}.
Somando:
\oint_{C}x\,dy =-64+\tfrac{256}{3} =\tfrac{-192+256}{3} =\tfrac{64}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{64}{3}.

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