Use o teste da razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2} 2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da razão na série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}2^{n}}{n!}.
Esse teste analisa a série de termos positivos \bigl|a_n\bigr| e verifica
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1, a série converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 2

Identificamos
a_n = (-1)^{n+1}\frac{n^{2}2^{n}}{n!} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|a_n\bigr| = \frac{n^{2}2^{n}}{n!}.

Passo 3

Calculamos a razão dos termos em valor absoluto:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\,(n+1)^{2}2^{\,n+1}/(n+1)!\;}{\,n^{2}2^{n}/n!\;} = \frac{(n+1)^{2}2^{\,n+1}}{(n+1)\,n!}\,\cdot\frac{n!}{n^{2}2^{n}} =2\;\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)\,n^{2}} =2\,\frac{n+1}{n^{2}}.

Passo 4

Tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}2\,\frac{n+1}{n^{2}} =2\;\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac1n+\tfrac1{n^{2}}\Bigr) =2\cdot 0 =0.

Passo 5

Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Logo, a série original converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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