4^{a} Questão (40 pontos) Resolva os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{3}-2 x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x^{2}+x-2}.
Ao substituir x=2 direto, obtemos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-3x+2 = (x-2)(x-1)
x^{3}-2x^{2}+x-2 = x^{2}(x-2)+(x-2) = (x-2)(x^{2}+1)

Passo 3

Como em torno de x=2 temos x\neq 2, podemos cancelar o fator comum (x-2):
\frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x^{2}+x-2} = \frac{(x-2)(x-1)}{(x-2)(x^{2}+1)} = \frac{x-1}{x^{2}+1}.
Agora avaliamos em x=2:
\frac{2-1}{2^{2}+1} = \frac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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