1^{a} Questão ( 15 pontos) Faça o que se pede:
a) Se |x+3|<1 mostre que:
-4<x<-2
b) Mostre pela definição de limite que:
\lim _{x \rightarrow-3}\left(x^{2}+3 x\right)=0
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos resolver a desigualdade envolvendo valor absoluto, que é conteúdo de manipulação de desigualdades. Na parte (b) queremos provar que
\lim_{x\to -3}\bigl(x^{2}+3x\bigr)=0
usando a definição \varepsilon-\delta de limite.
Passo 2
Para (a), começamos de
|x+3|<1.
Por definição de valor absoluto, isso é equivalente a
-1 < x+3 < 1.
Subtraindo 3 de todas as partes, obtemos
-1-3 < x < 1-3 \quad\Longrightarrow\quad -4 < x < -2.
Passo 3
Para (b), definimos f(x)=x^{2}+3x e queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que