1^{a} Questão ( 15 pontos) Faça o que se pede:
a) Se |x+3|<1 mostre que:
-4<x<-2
b) Mostre pela definição de limite que:
\lim _{x \rightarrow-3}\left(x^{2}+3 x\right)=0

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos resolver a desigualdade envolvendo valor absoluto, que é conteúdo de manipulação de desigualdades. Na parte (b) queremos provar que
\lim_{x\to -3}\bigl(x^{2}+3x\bigr)=0
usando a definição \varepsilon- \delta de limite.

Passo 2

Para (a), começamos de
|x+3|<1.
Por definição de valor absoluto, isso é equivalente a
-1 < x+3 < 1.
Subtraindo 3 de todas as partes, obtemos
-1-3 < x < 1-3 \quad\Longrightarrow\quad -4 < x < -2.

Passo 3

Para (b), definimos f(x)=x^{2}+3x e queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<|x+3|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)-0\bigr|<\varepsilon.

Passo 4

Observamos que
x^{2}+3x = x(x+3)
então
\bigl|x^{2}+3x\bigr| = |x|\;|x+3|.
Para controlar |x|, impomos ainda \delta\le1. Assim, de 0<|x+3|<\delta\le1 segue
-1 < x+3 <1 \quad\Longrightarrow\quad -4<x<-2 \quad\Longrightarrow\quad |x|<4.

Passo 5

Com |x|<4 e 0<|x+3|<\delta, temos
\bigl|x^{2}+3x\bigr| = |x|\;|x+3| < 4\,\delta.
Para garantir 4\,\delta<\varepsilon, basta escolher
\delta = \min\bigl\{1,\tfrac{\varepsilon}{4}\bigr\}.
Então, sempre que 0<|x+3|<\delta teremos
\bigl|x^{2}+3x\bigr| < 4\,\delta \le 4\cdot\frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon,
o que prova o limite.

Resposta

(a) -4<x<-2
(b) Escolhendo \delta=\min\{1,\varepsilon/4\}, obtemos \bigl|x^{2}+3x\bigr|<\varepsilon, logo
\lim_{x\to-3}(x^{2}+3x)=0.

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