Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}
O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e podemos usar o fato de que a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente e que multiplicar por constante não muda a natureza (converge/diverge).

Passo 2

Note que
\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{n},
então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é divergente (série harmônica) e \tfrac12 é constante não nula, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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