Exercício 5. Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 5^{+}} \ln \left(x^{2}-25\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to5^{+}}\ln\bigl(x^{2}-25\bigr).
O conteúdo envolvido é limite de função com logaritmo natural, e precisamos verificar o comportamento de x^{2}-25 quando x se aproxima de 5 pela direita.

Passo 2

Fatorando a expressão dentro do logaritmo, temos
x^{2}-25 = (x-5)(x+5).
Ao aproximar x de 5 por valores maiores, ou seja x\to5^{+}, obtemos
x-5 \to 0^{+} \quad\text{e}\quad x+5 \to 10,
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x^{2}-25 = (x-5)(x+5) \to 0^{+}\cdot 10 = 0^{+}.

Passo 3

Sabemos que o logaritmo natural \ln(t) é contínuo para t>0, mas diverge para -\infty quando t\to0^{+}. Como o argumento x^{2}-25 tende a 0^{+}, concluímos
\lim_{x\to5^{+}}\ln\bigl(x^{2}-25\bigr) = -\infty.

Resposta

-\infty

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