Explique a diferença entre
\sum_{i=1}^{n} a_{i} \quad \text { e } \quad \sum^{n} a_{i}

Passo 1

O enunciado quer que a gente compare duas escritas de somatório:
\sum_{i=1}^{n} a_{i}
e
\sum^{n} a_{i}.
O assunto é notação de somatório, isto é, como indicamos quais termos a_{i} estão sendo somados.

Passo 2

A notação
\sum_{i=1}^{n} a_{i}
é a forma completa e formal de escrever um somatório. Aqui o índice de soma é explicitamente dado:
  • O índice de iteração é i.
  • O valor inicial de i é 1.
  • O valor final de i é n.
    Isso significa “pegue a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} e some todos esses termos”.

Passo 3

Já a notação
\sum^{n} a_{i}
está incompleta, porque não diz de onde começa o índice nem qual é o próprio índice. Em estado puro, ela é ambígua:
  • Não sabemos se o índice é i, k, j ou outro símbolo.
  • Não sabemos se a soma vai de i=0 ou de i=1 ou de qualquer outro valor inicial.

Passo 4

Quase sempre, em contextos informais, alguém escreve
\sum^{n} a_{i}
querendo dizer “some a_{1} até a_{n}”, assumindo por convenção que o índice é i e começa em 1. Mas isso é uma abreviação exigir que o leitor já saiba a convenção.

Passo 5

Portanto, a diferença crucial é:
  • \sum_{i=1}^{n} a_{i} deixa claro qual é o índice e seus limites.
  • \sum^{n} a_{i} é apenas um atalho que omite esses detalhes, ficando ambíguo se não houver explicação prévia.

Resposta

A primeira notação é completa e sem ambiguidade, informando explicitamente que o índice i varia de 1 até n. A segunda é uma forma abreviada, ambígua, que só vale quando já se sabe (por contexto ou convensão) qual é o índice e onde ele começa.

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