Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, devo também calcular a soma. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A série é a soma dos
para .
Não há outros dados numéricos; o objetivo é estudar o comportamento quando.
Passo 2
Vou escolher um método: como o termo tem comportamento parecido com uma potência de
(raiz de
), o teste apropriado é usar uma comparação com uma série do tipo
(série-p) ou o teste da comparação por limite. Vou usar o teste da comparação por limite porque é direto e rigoroso.
Antes disso lembro dois fatos importantes (explico eles brevemente):
- Série-p: a série
converge se, e somente se, . Para ela diverge. Uma maneira simples de ver por quê (para o caso que usarei) é pelo teste da integral: converte se e diverge se . Por exemplo, então diverge. - Teste da comparação por limite (enunciado): sejam
e . Se existe e , então converge se, e só se, converge. Em palavras: se os termos são assintoticamente múltiplos um do outro, as séries têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 3
Escolho comparar
com
. A série
é uma série-p com
, logo diverge (porque
).
Calculo agora o limite da razão
:
Faço a manipulação do limite de forma clara:
Quando
temos
, então
Tomando raiz quadrada:
Observe que
é um número positivo e finito (ou seja,
).
Passo 4
Pelo teste da comparação por limite, como
, as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Como já observamos,
diverge (série-p com
), segue que
também diverge.
Como a série diverge, não existe soma finita a ser calculada.
Resposta
A série diverge; não é convergente, portanto não tem soma finita.