Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n+4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n+4}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, devo também calcular a soma. Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n+4}}.
  • A série é a soma dos a_n para n=1,2,3,\dots.
    Não há outros dados numéricos; o objetivo é estudar o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Vou escolher um método: como o termo tem comportamento parecido com uma potência de n (raiz de n), o teste apropriado é usar uma comparação com uma série do tipo \sum \dfrac{1}{n^{p}} (série-p) ou o teste da comparação por limite. Vou usar o teste da comparação por limite porque é direto e rigoroso.
Antes disso lembro dois fatos importantes (explico eles brevemente):
  • Série-p: a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}converge se, e somente se, p>1. Para p\le 1 ela diverge. Uma maneira simples de ver por quê (para o caso que usarei) é pelo teste da integral: \displaystyle \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converte se p>1 e diverge se p\le 1. Por exemplo, \int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx =\left[2x^{1/2}\right]_{1}^{\infty}=+\infty,então \sum 1/n^{1/2} diverge.
  • Teste da comparação por limite (enunciado): sejam a_n\ge 0 e b_n>0. Se L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}existe e 0< L<\infty, então \sum a_n converge se, e só se, \sum b_n converge. Em palavras: se os termos são assintoticamente múltiplos um do outro, as séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 3

Escolho comparar a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n+4}} com b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. A série \sum b_n=\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} é uma série-p com p=\tfrac{1}{2}, logo diverge (porque p\le 1).
Calculo agora o limite da razão a_n/b_n:
\frac{a_n}{b_n} =\frac{\dfrac{1}{\sqrt{2n+4}}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =\sqrt{\frac{n}{2n+4}}.
Faço a manipulação do limite de forma clara:
\frac{n}{2n+4}=\frac{1}{2+\tfrac{4}{n}}.
Quando n\to\infty temos \tfrac{4}{n}\to 0, então
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+4}=\frac{1}{2}.
Tomando raiz quadrada:
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{2n+4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Observe que L=\dfrac{1}{\sqrt{2}} é um número positivo e finito (ou seja, 0< L<\infty).

Passo 4

Pelo teste da comparação por limite, como \displaystyle L=\frac{1}{\sqrt{2}}>0, as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento de convergência. Como já observamos, \sum b_n=\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge (série-p com p=\tfrac{1}{2}\le 1), segue que \sum a_n=\sum \dfrac{1}{\sqrt{2n+4}} também diverge.
Como a série diverge, não existe soma finita a ser calculada.

Resposta

A série diverge; não é convergente, portanto não tem soma finita.

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