Uma mesma avaliação foi aplicada à quatro grupos com quantidades diferentes de pessoas. As notas mínima e máxima de cada grupo estão dispostas na tabela.
Grupo
quantidade
minima
máxima
A
8
74
89
B
12
67
85
C
10
70
90
D
14
68
88
Considerando a média de cada grupo como a média aritmética entre a nota mínima e a máxima, determine o desvio padrão das notas em relação aos grupos.
Considerar até a segunda casa decimal, para simplificação dos cálculos.
| Grupo | quantidade | minima | máxima |
| A | 8 | 74 | 89 |
| B | 12 | 67 | 85 |
| C | 10 | 70 | 90 |
| D | 14 | 68 | 88 |
Considerar até a segunda casa decimal, para simplificação dos cálculos.
Passo 1
O enunciado dá quatro grupos com suas quantidades e as notas mínima e máxima de cada grupo. Pede-se o desvio padrão “das notas em relação aos grupos”, e o enunciado instrui a considerar, para cada grupo, a média como a média aritmética entre a nota mínima e máxima. Vou interpretar a pergunta assim: calcular o desvio padrão de todas as notas quando cada aluno é representado pela média do seu grupo — isto dá um desvio padrão ponderado pelos tamanhos dos grupos (cada média de grupo conta tantas vezes quanto o número de alunos do grupo). Dados fornecidos:
- Grupo A:
, mínima , máxima . - Grupo B:
, mínima , máxima . - Grupo C:
, mínima , máxima . - Grupo D:
, mínima , máxima .
O que farei: (1) calcular a média de cada grupo como
; (2) calcular a média global ponderada pelas quantidades; (3) calcular a variância populacional ponderada e a raiz quadrada — o desvio padrão. Serão usados arredondamentos até a segunda casa decimal conforme pedido.
Passo 2
Calcular a média de cada grupo (média aritmética entre mínima e máxima).
Passo 3
Calcular o total de alunos e a média global ponderada (cada média de grupo ponderada por
). Primeiro o total:
A média global ponderada
é
Calcular os termos
:
Soma:
Logo
usando arredondamento até a segunda casa decimal:
.
Passo 4
Explicar a fórmula da variância populacional ponderada: quando cada observação tem valor
repetido
vezes, a variância populacional é
e o desvio padrão é
.
Usamos a versão “populacional” (dividindo por ) porque estamos tratando todas as notas (cada aluno representado), não uma amostra.
Usamos a versão “populacional” (dividindo por
Calcular as diferenças
e arredondar as diferenças para duas casas:
Passo 5
Elevar as diferenças ao quadrado (mantendo duas casas decimais) e multiplicar por
:
Somar esses produtos:
Variância populacional:
(usar duas casas decimais:
).
Passo 6
Desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Arredondando para duas casas decimais conforme pedido, o desvio padrão das notas em relação aos grupos é
(mesma unidade das notas).