Uma mesma avaliação foi aplicada à quatro grupos com quantidades diferentes de pessoas. As notas mínima e máxima de cada grupo estão dispostas na tabela.
Grupo quantidade minima máxima
A 8 74 89
B 12 67 85
C 10 70 90
D 14 68 88
Considerando a média de cada grupo como a média aritmética entre a nota mínima e a máxima, determine o desvio padrão das notas em relação aos grupos.
Considerar até a segunda casa decimal, para simplificação dos cálculos.

Passo 1

O enunciado dá quatro grupos com suas quantidades e as notas mínima e máxima de cada grupo. Pede-se o desvio padrão “das notas em relação aos grupos”, e o enunciado instrui a considerar, para cada grupo, a média como a média aritmética entre a nota mínima e máxima. Vou interpretar a pergunta assim: calcular o desvio padrão de todas as notas quando cada aluno é representado pela média do seu grupo — isto dá um desvio padrão ponderado pelos tamanhos dos grupos (cada média de grupo conta tantas vezes quanto o número de alunos do grupo). Dados fornecidos:
  • Grupo A: n_A=8, mínima =74, máxima =89.
  • Grupo B: n_B=12, mínima =67, máxima =85.
  • Grupo C: n_C=10, mínima =70, máxima =90.
  • Grupo D: n_D=14, mínima =68, máxima =88.
O que farei: (1) calcular a média de cada grupo como \dfrac{\text{mín}+\text{máx}}{2}íá; (2) calcular a média global ponderada pelas quantidades; (3) calcular a variância populacional ponderada e a raiz quadrada — o desvio padrão. Serão usados arredondamentos até a segunda casa decimal conforme pedido.

Passo 2

Calcular a média de cada grupo (média aritmética entre mínima e máxima).
\mu_A=\frac{74+89}{2}=\frac{163}{2}=81{,}5
\mu_B=\frac{67+85}{2}=\frac{152}{2}=76{,}0
\mu_C=\frac{70+90}{2}=\frac{160}{2}=80{,}0
\mu_D=\frac{68+88}{2}=\frac{156}{2}=78{,}0

Passo 3

Calcular o total de alunos e a média global ponderada (cada média de grupo ponderada por n_i). Primeiro o total:
N=n_A+n_B+n_C+n_D=8+12+10+14=44.
A média global ponderada \bar{\mu} é
\bar{\mu}=\frac{1}{N}\sum_{i} n_i\mu_i.
Calcular os termos n_i\mu_i:
8\cdot81{,}5=652{,}0,\quad 12\cdot76{,}0=912{,}0,\quad 10\cdot80{,}0=800{,}0,\quad 14\cdot78{,}0=1092{,}0.
Soma:
\sum n_i\mu_i=652{,}0+912{,}0+800{,}0+1092{,}0=3456{,}0.
Logo
\bar{\mu}=\frac{3456{,}0}{44}=78{,}545454\ldots\approx78{,}55,
usando arredondamento até a segunda casa decimal: \bar{\mu}=78{,}55.

Passo 4

Explicar a fórmula da variância populacional ponderada: quando cada observação tem valor \mu_i repetido n_i vezes, a variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i} n_i(\mu_i-\bar{\mu})^2,
e o desvio padrão é \sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Usamos a versão “populacional” (dividindo por N) porque estamos tratando todas as notas (cada aluno representado), não uma amostra.
Calcular as diferenças \mu_i-\bar{\mu} e arredondar as diferenças para duas casas:
\mu_A-\bar{\mu}=81{,}50-78{,}55=2{,}95,
\mu_B-\bar{\mu}=76{,}00-78{,}55=-2{,}55,
\mu_C-\bar{\mu}=80{,}00-78{,}55=1{,}45,
\mu_D-\bar{\mu}=78{,}00-78{,}55=-0{,}55.

Passo 5

Elevar as diferenças ao quadrado (mantendo duas casas decimais) e multiplicar por n_i:
(2{,}95)^2=8{,}70\quad\Rightarrow\quad 8\cdot8{,}70=69{,}60,
(-2{,}55)^2=6{,}50\quad\Rightarrow\quad 12\cdot6{,}50=78{,}00,
(1{,}45)^2=2{,}10\quad\Rightarrow\quad 10\cdot2{,}10=21{,}00,
(-0{,}55)^2=0{,}30\quad\Rightarrow\quad 14\cdot0{,}30=4{,}20.
Somar esses produtos:
\sum_{i} n_i(\mu_i-\bar{\mu})^2=69{,}60+78{,}00+21{,}00+4{,}20=172{,}80.
Variância populacional:
\sigma^2=\frac{172{,}80}{44}=3{,}9272727\ldots\approx3{,}93
(usar duas casas decimais: \sigma^2\approx3{,}93).

Passo 6

Desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{3{,}9272727\ldots}\approx1{,}98176\ldots\approx1{,}98.
Arredondando para duas casas decimais conforme pedido, o desvio padrão das notas em relação aos grupos é \,1{,}98 (mesma unidade das notas).

Resposta

\sigma=1{,}98

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