Encontre a representação em série de Maclaurin para a função racional abaixo. Em seguida, determine o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
- encontrar a série de Maclaurin (isto é, a expansão em potências de
em torno de ); - determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- o numerador é
e o denominador é ; - a expansão pedida é em torno de
(Maclaurin), logo queremos uma série da forma ; - singularidades (raízes do denominador) influenciam o raio de convergência (as raízes de
serão importantes mais adiante).
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): uma maneira prática para séries de funções racionais é decompor em frações parciais e transformar cada fração em uma série geométrica usando a identidade elementoar
Vou aplicar essa ideia: primeiro faço a decomposição em frações parciais de
; depois reescrevo cada parcela no formato
(ou múltiplo) com
proporcional a
; então aplico a série geométrica e somo as séries obtidas. Finalmente obtenho o raio de convergência pela condição
(intersecção das condições) e também darei um argumento pelo teste da raiz para confirmar.
Passo 3
Decompondo em frações parciais. Primeiro observo que o denominador é produto de dois fatores (as raízes são informações úteis):
Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Escolhendo valores convenientes de
para achar
e
:
- para
: então ; - para
: então .
Portanto
Passo 4
Transformar cada parcela em forma de série geométrica. Vou reescrever cada termo em forma
.
Para o primeiro termo:
(Explicação:
, então
.)
Para o segundo termo:
(Explicação:
, então
.)
Agora aplico a série geométrica
aos dois casos, lembrando das condições de convergência
e
.
Assim, para
e também
(no fim a condição válida será a interseção, isto é
),
Passo 5
Somando as duas séries term a term (na região comum de convergência
):
Portanto os coeficientes da série de Maclaurin são
Como verificação prática, mostramos os primeiros termos explícitos:
Passo 6
Determinar o raio de convergência. Argumento intuitivo (e prático): a série de Maclaurin de uma função racional tem raio de convergência igual à distância do ponto de expansão (aqui
) até o singularidade mais próxima no plano complexo. As singularidades de
são
e
; a distância menor até a origem é
. Assim o raio de convergência é
.
Argumento via teste da raiz (confirmação): os coeficientes são
. Para
grande o termo dominante é
, então
e o raio de convergência é