(\mathbf{1 , 0})^{*} Encontre a representação em série de Maclaurin para a função racional abaixo. Em seguida, determine o raio de convergência associado.
f(x)=\frac{1}{x^{2}-5 x+6}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{1}{x^{2}-5x+6}
e pede duas coisas:
  • encontrar a série de Maclaurin (isto é, a expansão em potências de x em torno de 0);
  • determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • o numerador é 1 e o denominador é x^{2}-5x+6;
  • a expansão pedida é em torno de 0 (Maclaurin), logo queremos uma série da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n;
  • singularidades (raízes do denominador) influenciam o raio de convergência (as raízes de x^{2}-5x+6 serão importantes mais adiante).

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): uma maneira prática para séries de funções racionais é decompor em frações parciais e transformar cada fração em uma série geométrica usando a identidade elementoar
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n\quad\text{válida para }\\ |z|<1.á
Vou aplicar essa ideia: primeiro faço a decomposição em frações parciais de \dfrac{1}{x^{2}-5x+6}; depois reescrevo cada parcela no formato \dfrac{1}{1-z} (ou múltiplo) com z proporcional a x; então aplico a série geométrica e somo as séries obtidas. Finalmente obtenho o raio de convergência pela condição |z|<1 (intersecção das condições) e também darei um argumento pelo teste da raiz para confirmar.

Passo 3

Decompondo em frações parciais. Primeiro observo que o denominador é produto de dois fatores (as raízes são informações úteis):
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Procuro constantes A e B tais que
\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-3) obtém-se
1=A(x-3)+B(x-2).
Escolhendo valores convenientes de x para achar A e B:
  • para x=2: 1=A( -1)+B(0) então A=-1;
  • para x=3: 1=A(0)+B(1) então B=1.
Portanto
\frac{1}{x^{2}-5x+6}=-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}.

Passo 4

Transformar cada parcela em forma de série geométrica. Vou reescrever cada termo em forma \dfrac{\text{constante}}{1-z}.
Para o primeiro termo:
-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x}{2}}.
(Explicação: x-2=-2\big(1-\dfrac{x}{2}\big), então -\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1-x/2}.)
Para o segundo termo:
\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x}{3}}.
(Explicação: x-3=-3\big(1-\dfrac{x}{3}\big), então \dfrac{1}{x-3}=-\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{1-x/3}.)
Agora aplico a série geométrica \dfrac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n aos dois casos, lembrando das condições de convergência |x/2|<1 e |x/3|<1.
Assim, para |x|<2 e também |x|<3 (no fim a condição válida será a interseção, isto é |x|<2),
-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n} \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x-3}=-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{3}\right)^{n}.

Passo 5

Somando as duas séries term a term (na região comum de convergência |x|<2):
f(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{3}\right)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{\,n+1}}-\frac{1}{3^{\,n+1}}\right)x^{n}.
Portanto os coeficientes da série de Maclaurin são
a_n=\frac{1}{2^{\,n+1}}-\frac{1}{3^{\,n+1}},\qquad n\ge0.
Como verificação prática, mostramos os primeiros termos explícitos:
f(x)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)x +\left(\frac{1}{2^{3}}-\frac{1}{3^{3}}\right)x^{2}+\cdots =\frac{1}{6}+\frac{1}{12}x+\frac{5}{72}x^{2}+\cdots.

Passo 6

Determinar o raio de convergência. Argumento intuitivo (e prático): a série de Maclaurin de uma função racional tem raio de convergência igual à distância do ponto de expansão (aqui 0) até o singularidade mais próxima no plano complexo. As singularidades de f são x=2 e x=3; a distância menor até a origem é |2-0|=2. Assim o raio de convergência é R=2.
Argumento via teste da raiz (confirmação): os coeficientes são a_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}-\dfrac{1}{3^{n+1}}. Para n grande o termo dominante é \dfrac{1}{2^{n+1}}, então
\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=\frac{1}{2},
e o raio de convergência é
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}=2.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{\,n+1}}-\frac{1}{3^{\,n+1}}\right)x^{n}
R=2

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