Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(1e^n+1n(n+2))

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^inftyl(1e^n+1n(n+2)r) converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo usado será convergência de séries, soma de série geométrica e soma telescópica.

Passo 2

Separamos a soma em duas séries mais simples:
$$\sum_{n=1}{\infty}\Bigl(\frac{1}{en}+\frac{1}{n(n+2)}\Bigr)
=\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{en}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}.$$

Passo 3

A primeira série é geométrica de razão r=1/e, com |r|<1, logo ela converge. Sua soma é
sumn=1^infty1e^n = tfrac1e1 - tfrac1e = 1e-1

Passo 4

Para a segunda série usamos frações parciais. Escrevemos
1n(n+2) = An + Bn+2Igualando, obtemos o sistema A+B=0 e 2A=1, de onde A=tfrac12 e B=-tfrac12. Assim
$$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr)
=\frac{1}{2}\Bigl(1+\tfrac12 - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2}\Bigr).$$No limite sumn=1^N1n(n+2) = 12sumn=1^Nl(1n-1n+2r) =12l(1+tfrac12 - 1N+1 - 1N+2r) fica Ntoinfty.

Passo 5

Somando os resultados das duas partes, concluímos que a série converge e sua soma é a soma das duas quantias obtidas.

Resposta

1e-1+34

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