Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo usado será convergência de séries, soma de série geométrica e soma telescópica.
Passo 2
Separamos a soma em duas séries mais simples:
$$\sum_{n=1}{\infty}\Bigl(\frac{1}{en}+\frac{1}{n(n+2)}\Bigr)
=\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{en}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}.$$
Passo 3
A primeira série é geométrica de razão
, com
, logo ela converge. Sua soma é
Passo 4
Para a segunda série usamos frações parciais. Escrevemos
$$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Bigr)
=\frac{1}{2}\Bigl(1+\tfrac12 - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2}\Bigr).$$No limite
fica
.
Passo 5
Somando os resultados das duas partes, concluímos que a série converge e sua soma é a soma das duas quantias obtidas.